函数做题思想总结（通用14篇）

函数做题思想总结（通用14篇）。

♛ 函数做题思想总结

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函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)

（一）平面直角坐标系

1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；

3、坐标轴上点的坐标特征：

x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。

4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横，纵坐标都反号

5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P（x,y）的几何意义： 点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。点P（x,y）到坐标原点的距离为

8、两点之间的距离：

X轴上两点为A(x1,0)、B(x2,0)|AB||x2x1|

x2y2 Y轴上两点为C(0,y1)、D(0,y2)|CD|已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=

|y2y1|

(x2x1)2(y2y1)

29、中点坐标公式：已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M为AB的中点

则：M=(x2x1yy1 , 2)2210、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）； 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

（二）函数的基本知识： 基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（三）正比例函数和一次函数

1、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx(k不为零)① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零 当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

2、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b(k不为零)① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

b，0）两点的一条直线，我们称它为直k线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)（2）必过点：（0，b）和（-

b，0）k（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

k0k0直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 b0b0k0k0直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 b0b0注：y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k决定着直线的变化趋势

① k>0 直线从左向右是向上的 ② k<0 直线从左向右是向下的

2、b决定着直线与y轴的交点位置

① b>0 直线与y轴的正半轴相交 ② b<0 直线与y轴的负半轴相交

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于y＝kx+b 而言，图象共有以下四种情况：

1、k>0，b>0

2、k>0，b<0

3、k<0，b<0

4、k<0，b>0

4、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；

(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为

5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

与 y轴交点坐标为(0，b)．

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条直线交点坐标的求法：

方法：联立方程组求x、y 例题：已知两直线y＝x+6 与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？

7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作

.特别地，轴记作直线

8、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.9、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=acx的bb图象相同.（2）二元一次方程组a1xb1yc1ac的解可以看作是两个一次函数y=1x1和

b1b1a2xb2yc2y=a2cx2的图象交点.b2b212、函数应用问题（理论应用 实际应用）

（1）利用图象解题 通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.（2）经营决策问题 函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题.(四)反比例函数

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

取值范围： ① k ≠ 0;②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数;③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

反比例函数的性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0和 x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0和x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2=|K| 5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴

y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2 +4k·m≥（不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.(第5点的同义不同表述)

10.反比例上一点m向x、y轴分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

（五）二次函数

二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般式(已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.)

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；

顶点式(已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.)

y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式(已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式)

y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 顶点

抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2/4a)，当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。开口

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。（左同右异）

c的大小决定抛物线当①时，∴抛物线,与与

轴交点的位置.与

轴有且只有一个交点（0，）： ,与

轴交于负半轴.，抛物线经过原点;②轴交于正半轴；③直线与抛物线的交点（1）（2）与(,轴与抛物线轴平行的直线).得交点为(0,).与抛物线

有且只有一个交点（3）抛物线与轴的交点 二次函数程根的判别式判定：

①有两个交点

抛物线与轴相交；

抛物线与轴相切； 的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 ②有一个交点（顶点在轴上）③没有交点

抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交的两点，由方程组

①方程组有两组不同的解时一个交点；③方程组无解时的解的数目来确定： 与与

有两个交点;②方程组只有一组解时没有交点.与

只有（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线，由于、是方程

与轴两交点为的两个根，故

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指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3) 函数图形都是下凹的。

(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

(7) 函数总是通过(0，1)这点。

(8) 显然指数函数无界。

奇偶性

1.定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2.奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)→(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1). 两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2). 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3). 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4). 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5). 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6). 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，

(3)函数单调性法，

(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

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步骤1

在运用函数之前，我们肯定需要了解函数的基本语法含义，下面大家看一看它的基本语法。
函数语法: SUBTOTAL(function_num,ref1,ref2, ...)
参数：
Function_num表示1 — 11（包含隐藏值）或 101 — 111（忽略隐藏值）之间的数字，指定使用何种函数在列表中进行分类汇总计算；
ref1,ref2表示所求的单元格范围

步骤2

解语法之后，打开需要进行运算的 Excel表格，先把C列隐藏(隐藏方法：把C列右侧的单元格框线拉到与C列左侧框线重合就可以隐藏了)。

步骤3

点击H2单元格，然后在函数输入框输入：=SUBTOTAL(1,B2:G2)，点击I2单元格，然后在函数输入框输入：=SUBTOTAL(101,B2:G2)，可以求得平均数。

步骤4

然后依次在H3—H12单元格依照以上方法分别把参数 Function_num 替换为2—11，进行运算。

步骤5

同时依次在I3—I12单元格依照以上方法分别把参数 Function_num 替换为102—111，进行运算。

声明本文系本人根据真实经历原创，未经许可，请勿转载。

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反比例函数是继一次函数学习之后又一类新的函数，它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数基础之上，而又服务于以后更高层次函数的学习，以及为函数、方程、不等式间关系的处理奠定了基础。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数。具体老师评课如下：

刘霞：通过反比例函数的应用使学生明确函数、方程、不等式是解决实际问题的三种重要的数学模型，它们之间有着密切联系，并在一定的条件下可以互相转化。

在本节课的复习过程中，渗透着建模思想、函数思想、数形结合思想、方程以及方程组的思想，这些思想也为后面学习二次函数的应用奠定了基础。

而利用反比例函数解决实际问题的基本步骤是通过对例题的解题过程进行归纳总结而得到的结论。它遵循了从“具体到抽象再到具体”的认知规律，蕴含了从“特殊到一般再到特殊”的推理方法。对今后学习数学有着重要的指导意义。

孙法圣：巩固反比例函数的概念，会求反比例函数表达式并能画出图象。 巩固反比例函数图象的变化及性质并能运用解决某些实际问题。

李杰：可以说从复习课的角度来说这样安排教学目标是恰如其分的，使数学教学课标要求当中的了解、掌握、直至应用都考虑到了体现。

牛媛：首先通过提问的方式梳理有关反比例函数的知识点（如：定义，表示法，图像性质），形成知识体系。尔后给出三道例题，学生做完后由学生板演再师生共同分析，最后学生再完成自我测验题。（冯老师精心设计本节课教学内容并通过印刷试卷给予呈现。）通过这些难度不同的习题来渗透反比例函数的相关知识与性质以及数学思想方法。使基础薄弱的学生能听得懂做一些，也使学有余力的学生学习能力得到进一步的提升，面向全体，使每一位学生都学有所得，另一方面也符合学生的认知特点和认知规律。

梁淑祯：应该说冯老师能较好地完成了本节课的教学任务，实现了既定的教学目标，达到了一定的教学效果，数学思想方法都能从例题教学中得到了体现。总体上落实以教师为主导，学生为主体，练习为主线的复习课教学模式。

在教学基本功方面：冯老师深入研读课标，钻研教学大纲，吃透教材，形成自己独到的见解，把握教材准确、恰当，难易适中，重点空出，紧紧抓住数形结合的思想来求解有关反比例函数的应用问题。

板书工整有示范性，有启发性，如在学生板演出现错误时给予及时纠正并用彩色笔加以区别经引起学生的特别注意。灵活地把黑板分成4大板面，内容紧凑

又分明、清晰，主板书和副板书一目了然。个人以为在学生不能很好地完成书写过程时，教师不应把板演的任务交给学生，虽说教师已加以修改和订正，但看起来已经不够整洁，也不美观。这样在一定程度上就降低了板书对示范性和启发性要求。

教师上课娓娓道来，循循善诱，声音柔和，具有校强的语言功底，这有利于学生静心思考，与学生容易形成思维的碰撞，易于与学生达到心灵上的勾通，交流。不过引起注意是要多注视数学语言的生动有趣、简洁明了、富于启发的.特点，特别当学生情绪处于低落之时，若能制造轻松愉快的课堂氛围，就更有利于学生的思考。当学生在思维处于山重水复疑无路时，教师应适时加以启发以让学生的思维得到进一步的深入，以期达到柳岸花明又一春的境界，这样也许更好。

教师具有较强地把握课堂的能力，得心应手地实施教学设想。

教师从概念入手引发性质，步步为营，有利于知识重组，形成知识体系，然后抛出例题由学生解答，学以致用。

教师首先提问学生反比例函数的定义及性质如：图像的位置、单调性、函数表达式的两种表示方式（少了一种，应有三种），由学生共同回答，当学生无法回答出反比例函数当k 的值互为相反数时图像的两支关于x轴或y轴成轴对称（最好补充关于原点成中心对称）时，老师能给予及时的启发，让学生的思维得以顺利地进行（启发略嫌生涩）。接着进入典型例题的讲解，例题1两个小题是关于反比例函数解析式的求解以及实际的应用，其中涉及到解析式两个解取一个的情况，另一个解是负数不合实际意义，要舍去。解析式的求法用到了待定系数法，根据过函数反比例函数图像上任意一点作x轴或y轴的垂线，以垂足、该点和原点这三个点为顶点的三角形的面积的两倍就是k绝对值。若设这一点的坐标为(a,b),则k＝ab。教师在讲解完该题时若能及时给予归纳就有画龙点睛的作用了，也更有深入浅出之意境，这样将大大提高了学生掌握和应用知识的能力。另外教师采用由学生到黑板析演的方式，而不是先由自己板书再让学生做下面第二题时再让学生板书，有暴露学生解题过程之不足之意，此种做法的效率个人以为有待于进一步商榷。

复习旧知时由学生一人主讲，让其他学生补充的方式。复习完旧知时，教师在不改变例题作用和降低例题使用效果的情况把三道例题结合为一道大例题，这样能节省学生因审题而花费的时间，也使题目的从易到难，层层深入，步步为营，同时照顾到了全体学生，使每个学生都能学有所获，也能让本节课不至于太沉闷。尔后，在讲解完例题后，还可留出一些时间给学生归纳反比例函数解题时所涉及的思想方法，让数学思想方法成为学生学习数学的导航器。

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1.做题总则：

文章大致看完之后，才能开始做题。做题时，应牢记以下几点：

(1)每篇文章的题目基本上根据文章布局一步一步向前推进，即使有个别题打乱文章布局，在题干里总是有提供信息的关键词将考生带入文章的具体部位。

(2)做题时，根据题干或选项的关键词回归文章寻找重现关键词或其释义的语言区域，同时排除相应的选项。

(3)到难句子时，最直接有效的方式就是对其进行句子结构分析，迅速把握整个句子的意思，不要盯着单个的词不放，不然就会因小失大。

(4)每个问题的四个选项或者是对文章中相关部分的正确释度、或者是歪曲原文、或者与原文毫不相干。换句话说，命题专家在设置试题时会玩一些文字游戏，用各种表达形式让考生晕头转向、雾里看花。考生应该明白自己的职责是辨别真伪，找到合符文章意思和题意的选项。

2.区别对待几种题：

(1)主旨题。主旨题有三种：A、作者的意图;B、文章标题;C、文章的中心思想。这种题一般为第一道题，建议考生把这道题放在最后做，因为做其他题时，考生会逐步了解文章的各个细节，在做题的过程中就会对文章个总的理解，最后处理主旨题可谓水到渠成、万无一失。

(2)列举题。列举题有两种：A、一正三误;B、三正误。也可分为四类。第一类：一句话列举。根据某个选项的语言提示，回归文章找到一句话，这句话包含三个选项的内容;第二类：局部列举。根据题意，回归文章发现连续两三句话涉及三个选项的内容;第三类：段落列举。题干语言在某自然段首句重现。这个句子为段落主题句，即三个选项的'内容在这段出现，不涉及到其他段落;第四类：文章列举。选项内容涉及整个文章。一句话列举题和段落列举题有明显的信号词帮助答题，根据题序做题，不必区别对待。文章列举题和局部列举题则应放其他题做完之后再处理。

(3)文章结论题。文章结论题即根据文章可以推断出下面哪个选项结论是正确的，题干没有任何语言信号词。这种题有以下几种布局：为文章第一道题时，相当于文章主旨题，应放在最后一道题时，有可能针对文章最后部分，也有可能针对整篇文章，但不大可能涉及文章其他部分的细节。所以文章结论题应该具体情况具体分析，并不一定是面对整个文章。

(4)作者态度题。作者态度题分为两种：A、局部作者态度题;B、整体作者态度题。文章最后一道题问及作者态度时为整体作者态度题，它涉及通篇文章，要根据整个文章数个语言点串起来的一根主线答题，也就是作者行文的口气。考生千万不可以根据某一个语言点答题，因为整体作者态度题不是考核某一个点，而是考整体感觉。局部作者态度题位置比较灵活，往往问及作者对文章中某一个具体内容的看法，题干通常信号请将考生带回文章某一区域，考查考生对某个语言点的理解。有时候，某个选项从作者的表达相悖，因此，做作者态度题时，考生一定注意不要把自己作为读者的分析、观点强加于作者。

(5)文章想方设法题。文章结构题三种：A、文章前面的段落内容是什么?B、文章下面接着将要讲什么?C、文章组织结构是什么?推断文章前面的内容立足于文章首句，因为文章首句承上启下，尤其注意首句中诸如this、so、other than之类的结构词。预测下文的内容则分两步走：第一、读文章每段首句，文章每段首句表示文章内容的逻辑走向。如果文章讲述某一事物的两个阶段或方面，下文将介绍这一事物的第三个阶段或方面。我们把预测下文内容的题称之为坐标题，即竖看文章每段首句，横看文章最后一句，其他句子是文章所讲内容，而不是下面将要讲的内容，往往选项干扰来自文章所讲内容。至于文章的组织结构题，只需要读文章每段首句即可，因为这些句子是文章框架。

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分析考研数学试题 总结做题方法

2013的考研数学已经尘埃落定，观看众多考研学子，有喜有悲，一些同学的成功值得我们后来的考生学习，另一些同学的失败也应成为各位考生的借鉴，比如：有的同学反映认为自己都会了，可是考试的时候似乎又不会，有的同学是觉得自己临到考前的时候紧张过度，没有心情看书学习，不能保持良好的学习状态，有的是认为自己做了很多的题，可是上考场后发现基本的概念题不会，这到底是为什么呢，是大家不够努力吗，还是复习方法的不对，现在我们就一些同学的共同点，提炼出我们在考研学习中经常犯的三个错误：

错误一：只看书不做题

有的同学每天捧着厚厚的辅导书在看，但依然得不到高分，就是因为没有动笔计算，没有提高自身的运算能力。实际上考研并不是考难题，往往是中等难度甚至是基础题加上较复杂的计算。所以没有强大的计算能力，是无法在考研数学中获胜。

因此考生在复习备考中，不论多简单的题目，多熟悉的步骤，都尽量不要跳过，一定要动手做。正如“眼看十遍不如手写一遍”，这样不仅可以提高自身的计算能力，甚至还会在做题中发现一些以前没有注意到的知识点掌握的漏缺。

错误二：患得患失

有的考生总是喜欢与其他人比，一比较发现有差距，就开始变得焦虑，人家已经看了那么多了，我是不是复习的太慢了，我的时间不够用了，能不能复习完啊，等等诸如此类，结果心里总像长草一样，学也学不进去，效率更慢了。

考研不仅是脑力体力的比拼，也更是心态和毅力的较量。每个人的'学习能力不同，吸收能力不同，复习计划也不同，知识掌握程度不同，没有任何可比性。请记住你的最大的对手就是自己，应该每人反思是否比前一天有进步，这样你才能在强大的推动力下步步向前，日日进步。

错误三：专做难题、怪题

有的同学喜欢在难题、怪题上狠下功夫，误以为难题都会做了，容易的题目自然也会迎刃而解。事实上，我们分析一下历年的真题，以、真题为例，整张试卷注重对三基的考察，基础题占到了70%，客观题的绝大多数和主观题的多数都属于中等难度及中等难度以下的试题。考研数学“以难题新题分高下，以基础定输赢”。如果能把基础题都掌握了，把能拿的分都抓住的话，分数是相当可观的。相反，如果你把大量的时间耗在了那些难题上，无疑是丢了西瓜去捡芝麻，肯定是拿不到好的成绩。

在新的一年里，祝愿大家做好复习规划，提前准备，期待每一位考研人都梦想成真!

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摘要：高中数学学习中，我们需要掌握很多正确的解题思路，这对于我们日常的学习来说具有指导作用。解题过程中常常运用到的数学思想包含着数形结合思想、函数思想等多种，所有的解题思想都可视为化归思想。本文将分析高中数学函数学习中化归思想的运用，结合目前的学习情况，明确正确运用化归思想的意义。

关键词：高中数学;化归思想;运用路径

针对现阶段高中教学情况，发现学习的内容并不局限于理论知识，更多的是关注我们自身能力的提升，以此提高我们思维的缜密性。化归思想可以帮助我们及时的将复杂的难题变得简单化，这样更加贴切我们的思考方式，让我们的解题难度又能降低。函数本身就是我们学习中的难点，如何合理的运用化归思想成为一个非常关键的问题。

1化归思想的基本概述

当我们面对任何问题的时候，都希望寻找合理的解决对策及时处理。在高中数学中，学习函数对于我们来说困难重重，为了更好的使我们掌握简便的解题技巧，老师们也开始积极的探索多种解题思路。化归思想就是结合着具体的题干，将函数复杂的内容简单化，这样我们便可以利用自有的知识量，选择合适的方式解决。在实际的解题过程中，我们一般认为化归思想也是一种有难度的解题方法，但是如果是缺少实际的解题思路，我们还是可以利用这样的方式。

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教学目标：

1、进一步理解的概念，能从简单的实际事例中，抽象出关系，列出解析式；

2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围.

3、会求值，并体会自变量与值间的对应关系.

4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量的取值范围的求法.

5、通过的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的.

教学重点：了解的意义，会求自变量的取值范围及求值.

教学难点：概念的抽象性.

教学过程：

（一）引入新课：

上一节课我们讲了的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的.

生活中有很多实例反映了关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与吗？

1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系.

2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n（个）与单价（a）元的关系.

解：1、y=30n

y是，n是自变量

2、 ，n是，a是自变量.

（二）讲授新课

刚才所举例子中的，都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数.

例1、求下列中自变量x的取值范围.

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

分析：在（1）、（2）中，x取任意实数， 与 都有意义.

（3）小题的 是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是 ，因此要求 .

同理（4）小题的 也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是 ，因此要求 且 .

第（5）小题， 是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零. 的被开方数是 .

同理，第(6)小题 也是二次根式, 是被开方数,

.

解：（1）全体实数

（2）全体实数

（3）

（4） 且

（5）

（6）

小结：从上面的例题中可以看出的解析式是整数时，自变量可取全体实数；的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零；的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零.

注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要 即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么？然后再要求分式的分母不为零.求出使成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似.

但象第（4）小题，有些同学会犯这样的错误，将答案写成 或 .在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力，教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里 与 是并且的关系.即2与-1这两个值x都不能取.

例2、自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每次一辆0.3元.

（1）若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的关系式；

（2）若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.

解：（1）

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（x是正整数，

（2）若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，

则

收入在1225元至1330元之间

总结：对于反映实际问题的关系，应使得实际问题有意义.这样，就要求联系实际，具体问题具体分析.

对于 ，当自变量 时，相应的y的值是 .60叫做这个当 时的值.

例3、求下列当 时的值：

（1） （2）

（3） （4）

解：1）当 时，

（2）当 时，

（3）当 时，

（4）当 时，

注：本例既锻炼了学生的计算能力，又创设了情境，让学生体会对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应.以此加深对的理解.

（二）小结：

这节课，我们进一步地研究了有关的概念.在研究关系时首先要考虑自变量的取值范围.因此，要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量取值范围的求法，并能求出其相应的值.另外，对于反映实际问题的关系，要具体问题具体分析.

作业 ：习题13.2A组2、3、5

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从考研中总结数学做题技巧

考研已经结束，通过这次考试发现，很多同学在进行考研数学复习时，往往陷入到题海战术的误导中，忽视了对做题技巧的总结和利用。虽然题海战术在备考数学的过程中占据着重要的地位，但是如果没有一定的技巧，合适的方法，那么就会浪费很多宝贵时间，事倍功半，相信没有人希望是这个效果。那么，如何做题能够有效高效的提高数学解题能力呢，下面老师给大家几点建议。

1.善于总结经验。平时做题肯定会遇到不会做的、不熟悉的或是做错的题，是看过就算了还是要加强巩固攻克难关?当然是后者，这里建议大家准备一个复习本，将不会做的题、做错的或者不太容易理解的题和相关知识点以及解法都记在复习本里，并且具体分析一下做错或者不会做的原因，同时隔一段时间来回顾一下这些内容，对知识的巩固和提高都是很有帮助的。

2. 多加揣摩真题。真题的作用是不容忽视的，经过十几年的考试，相当多的题目模式已经固定下来，很多考研题目都是类似的`。考研真题经过千锤百炼，在思想性上有较高的参考价值，需要多加揣摩。尤其是近两年的考题，反映了命题者出题的方式和思路，更要注意。所以，同学们一定要把真题重视起来!

3.劳逸结合，避开低效率时段。“春困秋乏夏打盹”，谁都有精力不济的时候，身体是革命的本钱，一定要保证睡眠质量才可能有充沛精力进行复习，而且适当进行一些体育活动或其他文娱活动来愉悦身心也是非常有必要的。

4.考研数学内容分三大部分，高数、线代和概率统计(数学二只考察高数和线代两部分)，有的人比较擅长高数，有的人擅长线代，而有的人擅长概率统计，在复习过程中擅长的部分可以少分配些时间，多分配时间在不擅长的部分，以达到高效复习。

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2016雅思阅读做题策略

雅思阅读考试追求速度与准确度的完美结合。有了速度，但是错题多或者做题正确率高然而速度很慢都是会影响雅思阅读成绩的。雅思备考中，掌握了基础知识后，考生在勤奋练习的时候掌握一些阅读技巧将达到事半功倍的效果。下面，yjbys网小编向大家介绍雅思阅读做题策略。

三字雅思阅读做题策略“快、准、狠”：找关键词的速度要快!定位到原文的位置要准!做题的感觉一定要狠劲十足!快是基于“准”和“狠”上的。

　　雅思阅读做题策略——准：定位信息

其实很多学生都败在了“准”字上，定位信息的能力总是薄弱环节。经过对剑桥真题的研究总结，我发现雅思阅读考试的考点很有规律可循!考法已经从初级的定位词考到现在的关系定位上了， 举例因果关系用于判断题型中：

T:The rise of the middle class is associated with the demand of dictionaries。

Q:The rise of the middle class has led to the demand of dictionaries。

此题中题目与原文都含有因果关系，且因果相同，仅是同义词组替换罢了。所以我会在第一次课，就给学生一整套我自己总结的定位方法，在后续的课程中我会把定位方法贯穿起来教授给学生，让学生在头脑中形成固定的体系。这样在做题的过程中就能够做到快，狠，准了!

雅思阅读做题策略——狠：巧用三大法宝

狠劲十足，要有以下三个法宝：较大词汇量，句子结构分析和有效的阅读方法及技巧。

词汇量是阅读的基础，尤其强调核心词汇的同义转换能力。这里不仅仅局限同词性同类别的同意替换，还要注意在真题题目有很多这样的考法，比如说在题目中一看到genetic(基因)这个词能够马上反应它在文章中肯定以DNA或是biological的形式出现。

句子结构分析也很重要，也就是说能够在短时间内从一个长句里提取出来有用的信息。雅思阅读难句虽然多， 但是类型相对较少，很容易掌握。 基本可以分为以下三类：

从句(主要包括主语从句，宾语从句，定语从句和同位语从句)

针对主语从句和宾语从句要快速的找出从句中的'主谓宾结构，针对定语从句要关键看主句，若从句很长，只看第一个从句部分就可以了，因为定语从句是修饰成分，在雅思阅读中基本不会成为考点。

大量的插入同位语或短语(可以忽略不看)

放在名词后面或整个句子之后的分词或不定式做修饰(可以忽略不看)

阅读难的原因很大程度上由于句子成分多难理解，而且近年的考试一直反映出阅读文章句子较长，结构复杂的状况，所以熟悉句子结构分析法尤为重要。

前面两点是属于英语基础能力，而最后一点：有效的阅读方法及技巧是在雅思考试解决问题的最后一步，是画龙点睛的一步。

总之，雅思阅读出题是有很大的规律性的，如果做到同时提高自己的英语基础能力，同时掌握其中规律，将极大提高做题正确率和完成度。

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一、巩固基础知识

高考数学题中易题、中题、难题的比例为3:5:2，即，基础题占80%，难题占80%。 20%。

无论是一轮、两轮还是三轮复习，“三基”，即基础知识、基本技能、基本思维方法，都是重中之重。坚持一些困难的问题是非常危险的！只有打通“三基”，才能解决难题。

二、构建知识网络

数学知识的教学。在积极参与、积极构建的基础上，学生可以形成层次越来越多的数学知识网络结构，让学生体验整个学习过程中蕴含的数学思想和数学方法，形成解决问题的生成方法。因此，在高考复习中，在巩固基础知识的基础上，把握纵横联系，构建知识网络。加强各个知识块的衔接后，掌握主要知识，理清框架。

三、重视普法

近年来，高考试题重点考查普法，以免过度考究死，太复杂太偏题，解题思路不靠特长，思维方向多，解题方法多，方法灵活，注重发散思维的考查。不要在复习中过多地“玩弄技巧”，过多地使用技巧会让成绩好的学生“发疯”，成绩差的学生“失去信心”。

四、提高计算能力

计算能力是最基本的能力。由于高三复习时间紧、任务重，师生不重视计算能力的培养。对于一个问题，只要看看就知道如何解决它。这就是我们高三学生计算能力差的直接原因。事实上，操作的合理性、正确性、简单性和及时性对学生的考试成绩起着至关重要的作用。因此，应进一步加强计算能力，让学生认识到计算的重要性和写作的规范性。同时，在操作中不断反思问题解决过程的合理性、转化的等效性等。

V.严谨规范的答案

学生的答案有很多小错误，小错误太多，累积影响最终成绩。在复习和评论试卷时，要不厌其烦地提醒学生注意推理的完整性，尤其是“立体几何”中的推理过程；每年都要向学生讲解如何在规定范围内改正和回答问题，养成严谨规范的作风。

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1、高数

①简介:数一三本课程中，尤其以高数为重，因为考研数学满分150中，高数56%，线代22%，概率22%。这是明面的，但是在线代概率中，都会涉及到高数的知识，尤其是概率，概率中的分布函数以及概率密度，都是以高数的二重积分为基础，所以实际上高数所占比例远远大于56%，可以说接近75%。

②学习:在高数的学习中，我个人的推荐是，先粗读一遍课本，不会的跳过即可，实在读不下去就不用读，然后配合各大老师的视频基础班，配合着学一遍，我看的张宇的视频。这时候要把课后习题做了，这时候课后习题不一定全做，不会做的看答案即可，努力看懂，我相信你看完视频之后，大部分课后题即使做不出，答案也能看得懂，我个人复习的比较晚四月份开始，上册第一遍看完的时候大约到六月这边，学习不努力，所以看的比较慢。我的建议是，上册看完之后，就再去看上册的加强班，上下册分开学，不要一遍学完上下册再回头看，那样遗忘的比较多。这时候，老师会带着你做一些有点难度的习题跟考研题，同学们，考研的题并不是都难的，所以不要害怕，有很多送分题的。这时候，你要做一些市面上的题了，我的推荐是:基础班的时候做课后题，强化班的时候做市面上的题(我做过一些，我推荐强化阶段做汤家凤的1800，或者张宇一千题A组，李永乐的660有些难度，可以放一放)。强化班的时候，一定要努力学透，题目可以不会做，但课本一定要吃透，因为题型千变万化，你可能没见过，但是当你学会考点的时候，早晚都会做，只是个阅历问题。所以我尤其推崇做题，考研数学也是个刷题的过程，我搜刮了一些题库，这里没法发文件，等会建个群我把文件共享在里面(只有数学类)。然后学完上册就学下册，下册比上册烧脑一些，所以要更努力，基础尤为重要，一定记得吃透定义。这时候应该会来到暑假里，我暑假没有回家，在这里学习，整个假期就是刷题，刷的也是自己找的题库。然后暑假也启动了线代概率的学习，因为当时觉得时间不够了，所以两门一起学的，在这里说一句，线代概率确实比高数学的快一些，时间也短一些，我高数上付出了巨大的时间，这么可能间接导致后面两门学起来轻松一些。

2、线代

线代也是这么个流程，看课本，看视频，基础加强化，不过因为线代题型较少，分值占的少，所以学起来要快一些，但是线代的定义更多，并且不是很好理解，线代课程的关系是一脉相承，跟高数不一样，高数可能你上一章不会这一章会，但是你线代如果说上一章不会，那你后面的可能都不会了。这里推荐一本资料是李永乐的线代讲义，我做过张宇的，但是张宇的略难一些，看个人。视频也是看张宇的。你们可以挨个老师看看，喜欢哪个老师就看哪个，这个也是看个人。线代的学习可以说是三本中最简单的，但是计算量比较大，所以线代的题一定要动手做，因为线代的思路很简单，但是你不一定做对，就是因为计算能力不过关，他跟高数不一样，高数难的是思路，思路有了题目迎刃而解，可以说两门的学习方法是不一样的，因为高数考思路，所以你要海纳百川，多刷题长见识，线代是题型较少，题目千篇一律，但你不一定做对，这就要求你做的又仔细又快，所以在暑假就要把自己的计算能力提上来。

3、概率

概率的学习，可以说跟高数的联系千丝万缕，我的概率是在暑假学的，我的概率视频看的张宇，然后觉得没看懂。又看了王式安的，讲道理，王式安的概率讲的比张宇好一些。概率的学习就不用课本了，因为课本相当复杂，这里我也建议买一本李永乐的概率讲义。概率的很多题型都是表面考概率实则考高数，这样他把两科结合起来，就看起来难一些，概率的题型相比之下变化也不算大，但是还是比线代难一些，概率还是重理解一些，不过概率常考的就是那一些，所以就多刷题，但是概率的题并不多，所以要精做，一定要学有所得。

4、看完课本以后

这时候应该来到九月份开学了，我开学后就在做我前面买的没做完的书，剩余的一些题，然后也开始了做真题。有些同学看了今年的考研数学真题后，可能会说往年真题没有参考性，因为今年的偏难一些，这样就错了同学，其实数学不在你是否做过这种题，是要看你会不会做这种题，题型千变万化，当你的题做的多了，刷完历年真题，数学基本稳定了，在最后一个月或半个月这边，可能会有张宇的四套卷啊八套卷啊什么的，我跟你讲，这种你可以做，也可以不做，我给你推荐一套，超越考研模拟题，保证虐的你欲罢不能，这份题是我做过最好的一套题，做过的同学都说好haha，当然也不是不让你做四套卷六套卷，只是我觉得。最后一个月时间宝贵，不如多做几份好题是吧，另外，不要觉得数学这东西多少年多少年以前的我做了会不会浪费怎么样，讲道理三十年以前的你也不一定会做，数学做题是为了打开思维，一百年前的题你都能做的。

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一.幂函数——教学目标：

1.知识技能

(1)了解幂函数的概念;

(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。

(3)学会研究函数图象和性质的一般方法。

2.过程与方法

类比研究指数函数、对数函数学习过程，掌握幂函数的图象和性质。

3.情感、态度、价值观

(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;

(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，感受数学美。

二、幂函数——教学重难点：

1、重点：幂函数的概念和性质;

2、难点：函数指数的推广及性质的归纳。

三、幂函数——教学辅助工具：

PPT课件，几何画板。

四、幂函数——教学过程：

(一)创设情景

前面我们学习了函数的定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数。函数这个大家庭有很多成员，今天，我们利用学习指数函数、对数函数的方法，再来认识一位新成员。

1、如果正方形的边长为，那么正方形的面积是= ，是的函数。

2、如果正方体的边长为，那么正方体的体积是 = ，是的函数。

3、如果正方形场地的面积为，那么正方形的边长= ，是的函数。

4、如果某人s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度= km/s，是的函数。

思考：上述函数解析式有什么共同特征?

答：(1)都是函数;

(2)均是以自变量为底的幂;

(3)指数均为常数;

(4)自变量前的系数为1。

(二)新课导入

1、幂函数的定义：

一般地, 叫做幂函数,其中是自变量,是常数。

2、幂函数与我们之前学过的哪种函数在形式上接近?

3、幂函数与指数函数有什么区别?

答：判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点是看未知数x是做底数还是做指数，若是做底数则是幂函数;若是做指数则是指数函数。

设计意图：引导学生分析掌握幂函数的结构，三要素，区分幂函数与指数函数的异同点。

(三)小试牛刀

1、下列函数中，哪几个函数是幂函数?

① ② ③

④ ⑤ ⑥

2、已知函数是幂函数，则实数的值等于_____.

3、已知幂函数的图象过点，则

(四)自主探究

1、请在同一坐标系内画出幂函数，，，，的图象。

2、观察图象，讨论归纳幂函数;;;;的性质。

定义域

值 域

奇偶性

单调性

定 点

(五)合作探究

归纳幂函数的性质：

(1)幂函数图象过定点 。

(2)函数、、是奇函数，函数是偶函数

(3)幂函数,在第 象限都有图象。我们就先来研究幂函数在第 象限上的性质，函数的奇偶性能够帮助我们完成其他象限的图象。

在区间上，函数、、和是增函数，函数是减函数。

推广：当>0时，函数在第一象限是增函数，当<0时，函数在第一象限是减函数.

(4)在第一象限，函数的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近

设计意图：引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对数函数等过程中的思想方法研究幂函数;让学生通过观察上述图象，自己尝试归纳五个幂函数的基本性质，然后完成表格;进而归纳幂函数的性质。

(六)反馈演练

例1、证明幂函数上是增函数

证：任取

=

=

因<0，>0

所以，即上是增函数.

例2、比较下列各组中两个值的大小：

(1)与 ;(2)与;(3)与

(4)与.

例3、已知幂函数在上是减函数，求m的取值.

例题的设计意图：

例题1复习函数单调性的证明步骤，例题2复习利用指数函数的图象与性质来比较大小的同时学会用幂函数的方法来比较大小，体会一题多解.例题3学会利用幂函数的性质来解题.

(七)总结提炼

1、谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系?

2、幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面?

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