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合同范本|数学与数学思想方法读后感（热门十七篇）

发布时间：2018-06-06

数学与数学思想方法读后感（热门十七篇）。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

篇1：小学数学数形结合思想方法的灵活妙用<\/h2>
我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”数形结合符合人类认识自然，认识世界的客观规律。
“数”和“形”是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念逐步展开的。 “数”与“形”的结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用，本文谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。
一、以形助数 ----用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率。
用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”通过借助简单的图形，符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。例如：例1：把一根绳子对折三次，现在的绳子占原来绳子总长的几分之几？
分析与解：这道题条件虽少，对于大部分学生单从字面上很难弄清现在绳子与原来绳子之间的关系。如果画出线段图，思路就豁然开朗了。
对折第二次的线段长是第三次的2倍，对折一次是第二次的2倍，所以用2×2×2=8 1÷8=1／8
利用数形结合，学生表象清晰，思维清楚，对算理能理解透彻。如果没有图形的帮助，这样的教学理解也是不可能达到的。
借助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力
儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。
例如：在教学长方体的认识时，我让学生用小棒代表长方体的棱长，12根小棒分长、宽、高三组，思考如何围成一个长方体。根据长方体长、宽、高三条棱的长度，用手势比划一个长方体，并且想象出它与哪一个实物很相似。如已知长21cm，宽8cm，高3cm，学生手势比划后说这长方体与铅笔盒很相似；又如长8cm，宽5cm，高5cm，手势比划后，想象出与粉笔盒相似等。
二、以数解形
有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系（如算式等），以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征、形的求积计算等等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。
如《长方体的认识》学生在后来计算有关特殊长方体的表面积或是棱长之和等问题中总是弄不清要计算哪几个面，学生只简单背出了长方体的有关特征，具体如何运用却不知所以然，所以我后来在教学人教版五年级下册《长方体的认识》一课中，在接下来的进一步认识长方体的过程中，先出示6、12、8三个数字，让学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征……，学生通过小组看看摸摸等合作活动，找出长方体的特征： 8个顶点，12条棱，6个面。是点，线，面的关系，学生在加深三个数字与长方体特征之间联系后，对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，例如计算抽屉、冰箱布套、长方体鱼缸的表面积时，先弄清这样的长方体有几个面，就计算几个面的面积，如抽屉、鱼缸有5个面，少了上面，冰箱布套则是少了下面，求的方法也呈现多样化，或用6个面面积减去上面面积，或是计算前后左右4个面面积，再加下面面积等；避免了犯不必要的错误。
通过鼓励学生仔细观察几个数字和长方体特征之间的关系，从具体的事物中抽象“数”，体会“数”表示物体个数的含义和作用，让学生体会数字所包含的图形特征，再借助“数”的运算解决有关几何问题（如求几何体的表面积、总棱长、体积等）。这样，让学生们在“见形”过程中有目的去“思数”，在“思数”的过程中利用“数”来解释“形”，这样既训练了学生的思维能力，又会收到更好的效果。学生一看到6、12、8等数字时，马上能联系到长方体各个特征，在脑子中建立起长方体的模型，象这样有的放矢的在一定时间里重点渗透数形结合的数学思想方法，既可以培养学生在以后的学习中逐渐形成一定的数感，同时在渗透数学思想的过程中，让学生感悟“数形结合”思想的好处。
三、数形结合，思维开花。
把数与形有机的结合起来，不仅形象易懂，而且有助于培养学生灵活运用知识的能力。解题时利用数形结合，可帮助学生克服思维的定势，学生可进行大胆合理的想象，不拘泥于教师教过的解题模式，选用灵活的方法解决问题，追求解题方法的简捷独特，经常进行这样的训练，逐步强化学生思维的灵活性。
例如在学用字母表示数那一课
出示“1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿。
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿。
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿。”
…
让学生接着往后编
4只青蛙4张嘴，8只眼睛16条腿。
5只青蛙5张嘴，10只眼睛20条腿。
6只青蛙6张嘴，12只眼睛24条腿。
…
能编的完吗？
不能。想办法用一句话把它编完。
学生会想到用字母即形来表示
a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。
通过数形结合，让抽象的数量关系、解题思路形象地外显了，学生易于理解。一题多解，思路开阔，学生的思维品质、数学素质产生了飞跃。
总之，在小学数学教学中，数形结合能将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，使复杂问题简单化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习生活打下坚实的基础。

篇2：小学数学数形结合思想方法的灵活妙用论文<\/h2>

篇4：数形如何巧结合<\/h2>
数形如何巧结合
江苏南京晓庄学院章秋明
论文摘要：数形结合是一补重要的教学思想方法。在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图开的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。通常是将数量关系转化为线段图，这是基本的、自然的手段。对于某些题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清晰显示其数量关系的几何图形。本文通过两个具体的例子揭示了分析、改造的方法。
论文关键词：数形结合、线段图、几何图形
论文正文：数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是其一。其二，或者把关于几何图形的问题，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。
在小学数学中，用得最多的是前者，而且在应用题的分析求解中，通常是将数量关系转化成线段图。然而，这并不是唯一的方式。实际上，在不同的问题中，可将数量关系转化为不同的图形。其中有一个原则：能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。
例1 一色糖果平均分给三个小朋友，如果每人吃掉4块，那么三人剩下的糖块数之和恰好是原糖果数的1/3，原糖果有多少块？
分析与解：如用线段图表示数量关系，则如下图所示，其中带斜线的线段表示每人吃掉的糖块数：
由于题目给出的是三人剩下的糖块数之和，与原糖果数的关系，在以上线段图中，三人剩下的糖块数是三条未带斜线且各自分离的线段，较难发现三条带斜线的线段长的和与整条线段长之间的数量关系，因此这不是最佳的选择图形。
我们希望选择的图形能够一目了然地看出“三人剩下的糖块数之和恰好是糖果数的1/3”，就是说，能把“三人剩下的糖块数之和”在图形中连成一片，并且能直载了当地看出它与原糖果数之间的关系。为此，我们画一个大圆，并且大圆的面积表示原糖块数。把大圆三等分，每份即表示每位小朋友分得的糖块数。在大圆中再画一个小同心圆（小圆半径约等于大圆半径的0.6），用小同心圆的面积表示三人剩下的糖块数之和，于是圆环（阴影部分）的面积则表示三人吃掉的糖块数之和。如右图所示：
这样一来，数量关系完全明朗清晰了。
答：原有糖果18块。
例2 大球、小球共100个，取出大球的75%，取出小球的一半，还剩30个球，大球、小球各有几个？
分析与解：如用两条独立的线段长分别表示大球、小球的个数，用带斜线的长表示取出的球数，则可画出下图：
由于题目给出的条件是两种球分别取出后剩下30个，这是一个和数，反映在线段图中应该是以上两条线段中不带斜线的两部分线段长之和。于是想到把以上两条独立的线段拼接在一起的办法，并让不带斜线的线段相邻。
如果再想到也把表示小球的'线段四等分，那么便容易解出原题。
能不能用不拼接、再等分的方法解答本题？可以。画以下图形：
其中，大正方形ABCD的面积表示大、小球的总个数，小正方形A′B′C′D′的面积表示小球的个数，于是，大、小正方形的面积差则表示大球的个数。另外，我们用画有横线阴影部分的面积表示取出的个数，用画有竖线阴影部分的面积表示取出小球的个数。
显然，在解答本题时如把正方形换成圆或矩形都是可以的。这种数形结合的解题方法多么简便，几乎可以达到“图形一画出，解答自然出”的效果实在是巧妙。
从以上解题过程可以看出，线段图仍是揭示小学数学应用题中数量关系的基本的、自然的手段。对于某些题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析与改造，设计构造出能清晰地显示其数量关系的其他图形，使解题过程变得更简洁、更方便。

篇5：小学数学数形结合思想研究论文<\/h2>
摘要：数学是小学时期的一门主要课程，是一种以抽象思维为主的学科。小学生还处于形象思维的年龄段，要想培养他们的抽象思维，需要教师采取一定的教学策略与教学方法。数形结合是一种比较好的教学方法，通过将抽象的数学知识与形象的图形结合起来，可以让学生更好地理解抽象的数学概念，从而提升学生的数学思维能力，让学生逐步具备抽象思维能力，能够用数学思维来分析与解决问题。本文从数形结合的涵义入手，结合笔者多年的数学教学经验，分析了在小学数学教学中渗透数学结合思想的一些具体策略，以其为广大一线数学教师提供一些实践参考。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

【摘要】在初中的教学当中最重要的就是能够打开学生们对于数学的思维方式，在数学教学的过程当中，将其学生的思维拓展开，从而完成教学水平的增加。在数学的教学过程当中渗透数学的教学思想方法是现在教学过程当中广泛应用的一种方式。数学思维的渗透能够有助于教师在对于学生的建立思维以及能够让学生灵活的运用数学有关方法，这样就能让数学的学习不仅仅是学习理论与概念性的东西，而是让思维打开从而可以增加学生的学习的主动性、建立数学的思维同时也能够将教师的授课能力得到提升。

在新课程的使用过程当中，对于数学的思想的培养在数学的学科已经从成为了教学过程当中的重点，这也是学生学习数学知识的最基础、最重要的部分，数学的思维方式是将其数学有关的知识转化为能力的中介，这是解决一切数学问题的核心。在很多人的观念当中，数学是一个枯燥的学科，在教学过程当中，学生学习感觉到枯燥，老师授课也感觉到困难，在反复的训练过程当中，只能让学生更加厌恶这门学科，并且学习成绩上升不上去，这其中的原因就是没有使用渗透教学的方式，往往学生与老师都忽视了这个问题。在初中的数学的教学当中怎样能够将其渗透教学的思想运用到实际教学过程当中，本文就此展开讨论。

数学的思维方式其看似变化多端，但是本质都是共同的，能够找到他们的共同特点，它是一种逻辑性的思维，可以将正向思维转化为逆向思维，将逆向思维转化为正向思维，其最终得出的结论都是一致的。在数学的解题的过程当中，其解决的'方式往往不是一种。其数学的思维方式还具有将强的灵活性的特点，能够将原来的题目经行微小的改变，这样就能够将题意以及结果完全改变，之后充分的理解题意，才能够让学生轻松的正确的解题，这就是数学思维灵活性的重要表现形式，这就需要教师在对于学生教学的过程当中对于学生进行系统化、有针对化的训练，对于基础知识进行全面的讲解，这样才能够让学生有一个夯实的基础，给未来轻松的解题做出铺垫。

在初中的数学的教学过程当中，在夯实基础知识、解题技巧的同时也要对于其数学的思想方式进行灌输，但是在灌输的过程当中其思维方式并不能让学生们独立的理解和获得，学生们理解过程当中也有一定的困难，这就要求教师在教学过程当中使用渗透教学思想方式。初中教学渗透教学思想方法的必要性体现在如下几个方面：其一，从教学大纲的目标来说，其初中的数学教学不仅仅要给学生教授其基础值是，还需要帮助学生建立基本的思维方式，并且培养学生们的智力。最最基础上来说，初中的数学教学最基本的任务就是要求提高学生的数学思维方式，并且增加学生们对于数学观念，形成良好的数学素质的重要手段；其二，在学生学习的目的来说，初中对于数学学习的目的就是为了培养人才，这就需要学生们应用已经掌握的数学方式来解决现实生活中所遇到的问题，但是现在教学的关键就是是否能让学生们找到解题的中心，从而运用合理的解题思维去解决问题；其三，在教学的内容方面来说，初中数学过程当中无疑不体现出算数向代数的过度以及平面几个的认识这两个方面当中，这些也是基础数学的重要体现，这是学习数学入门最重要的转折点，也作为教学的重点和难点，为了推进对中学生的教育，对于其数学教学大纲要求作出了合理的改变，并且减小了考试的内容，但是对于学生思维方式的理解与掌握并没有因此而下降，这样就给数学思维的教学留出了一定的时间，可以让教师对于学生的思维方式经行培养。

函数与方程的思想。这是将其函数与方程进行关联，使用其关联进行相互之间的转换，这样已于理解以及实际的应用，将其变量与变量相互的对应关系转变为已知量与未知量的关系，这样能够更方便的解决实际问题。比如说：有一个工程甲乙两种工人完成工程，甲乙两种工人共需要700人，其甲种工人的工资为800元，乙种工人的工资为1200元，现在要求乙种工人不少于甲种工人的3倍，并且花费的工资最少，怎样聘用甲乙两种工人？

代数与图形结合思想。这种西谁方式通俗的解释就是数形结合，将其抽象代数与实际能够观察到的图形联系起来，这样通过图形的位置、角度等一系列的性质可以将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。

样有意识的进行分类的考虑，不仅仅能够将问题变得简单化，还能够将结论经行归纳，从而避免了答案的遗漏、错误，在实际的教学过程当中，还可以培养学生们的归类思维。例如在学习有理数之后，对于字母与实际数字的比较以及对于一次函数y=kx+b这一类图像进行分析，归纳总结，并且对于图像进行分类论述和总结。

这种方式就是将陌生的、困难的问题转换为以前见过的、简单的问题来解决，这样可以与当前已经能够掌握的知识相联系。在三角函数、因式分解等数学问题以及理论的过程当中，很多都体现了数学转化的思想模式，一般的转化方式有：等价转化、特殊转化、类比转化、一般转化等。

在数学的教学过程当中，每一个环节都包含着深刻的数学思想，这就需要老师进行合理的挖掘。老师可以使用适当的方式来培养学生的学习兴趣，使用渗透教学的思想，能够提高学生学习的效率。

由于新课程标准的要求，在教学过程当中应该注重解题的过程，以及知识的推导演变的过程，尤其上那些定理、性质、公式的烟花过程，最基本的数学思维方法以及解题方法都是在这个过程当中培养出来的，在不同的时间段进行不断的渗透这样就能够让学生理解和记忆，参与到实际应用当中，可以让学生的思维拓展，产生质的飞跃。在推导过程当中，弄清楚前后关系、相互转之间的相关性，并且与其他知识相互联系，这样就能够让学生的创造性思维运用当实际应用当中。

在实际的教学过程当中，通过解决实际的问题，指导学生怎样进行思考，这样才能够培养学生的数学思想。教师也应该做好总结和归纳，对于每一个类型题进行归纳方法，这也是形成数学思想的一种良好方式，并且还要注重数学在实际的应用，在应用的过程当中培养学生们联想和转化的能力没在初中的教学当中，应哟了很多经典的例子，老师应该适当的进行归类以及合理创新进行联系。

对于例题讲述的过程当中，老师应该引导学生合理的使用例题进行思维的拓展，在教学过程当中，老师在讲解一个类型题目后，给学生应该合理的分析解题思路、解题方法、重要的知识点、解题方式，之后也应该要求学生感悟理解，并且让学生整理，之后教师在出一些类型的题对于其加强巩固的训练，让学生们学会归纳，并且自我总结数学的基本思维方法，让学生们在潜意识里面能够存在数学思维，并且促使学生们深化和加强对于数学思维的记忆、理解与使用。

在教学当中往往出现学生们听懂了，理解了但是遇到实际问题还是不会去应用的情况，这种情况出现的原因就是因为老师在上课的过程当中没有注重解题方式，让学生们机械的听讲与做题。老师应在在教学的过程当中应该教会学生们合理的思考，在问题当中领悟到数学的思想，真正的学会用数学的思维方式对于实际生活的应用。

综上所述，数学思想有灵活性以及归一性的特点，在教学过程的当中，只有不断的对于学生进行渗透数学思维方式，学生才能够使用数学来解决实际问题，并且能够合理的应用问题进行解决，教师只有不断的对于学生基础知识进行巩固才能够有效的对于学生思维方式进行培养，并且合理的使用课外书籍，让学生们体会数学思维，从而能提高学生自主学习的能力，让学生们能够让思维打开从而可以增加学生的学习的主动性、建立数学的思维同时也能够将教师的授课能力得到提升。

参考文献：

[1]罗布。浅谈数学思想方法之化归与转化思想[J]。西藏科技，，（04）：130—131。

[2]赵亮。转化与化归思想漫谈[J]。中学数学，2012，（05）：88—89。

[3]孔翠华。初中数学教学应重视化归思想的培养[J]。中学课程辅导（江苏教师），2012，（02）：84。

[4]朱见贤。对中学数学中化归思想的研究[J]。语数外学习（初中版中旬），2012，（01）：19—20。

[5]余健棠，侯佳慧。数学化归思想在七年级教学中的渗透——从新人教版七（上）课本谈起[J]。数学教学通讯，，（15）：10。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

我通过对《数学思想方法》这一课程的学习，并结合我在工作中的实际情况，体会到如下心得：

数学的内容、思想、方法和语言广泛渗入自然学科和社会学科，成为现代文化的重要组成部分。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养和重要内容之一。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，而数学思想方法在教学实践方面的应用，更能加强教师的数学思想方法教学意识，更新教学观念，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。

1、数学思想。

数学思想是人们对数学科学研究的本质，及规律的深刻认识。它是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则。它具有导向性、统摄性、迁移性。中学数学教学中的基本数学思想有对应思想（函数思想、数形结合思想），系统与统计思想（整体思想、最优化思想、统计思想），化归与辩证思想（化归思想、转换思想）等。

2、数学方法。

数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。它具有过程性、层次性、可操作性。中学数学教学中的基本数学方法：一是科学认识方法：观察与实验，比较与分类，归纳与类比，想象、直觉与顿悟；二是推理论证方法：综合法与分析法，完全归纳法与数学归纳法，演绎法、反证法与同一法；三是求解方程：配方法、换元法、消元法、待定系数法、图象法、轴对称法、平移法、旋转法等。

3、数学思想方法。

数学思想与数学方法既有差异性，又有同一性。数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。“方法”指向“实践”。数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用；数学思想与数学方法同属于数学方法论的范畴，它们有时是等同的，并没有明确的界限。由于数学思想与数学方法的这种特殊关系，我们在中学数学教学中把它们统称为数学思想方法。

4、数学思想方法教学。

因为数学教学内容始终反映着显形的数学知识（概念、定理、公式、性质等）和隐形的数学知识（数学思想方法）这两方面。所以，在教学中，我们不仅应当注意显形的数学知识的传授，而且也应注意数学思想方法的训练和培养。只有注意思想方法的分析，我们才能把课讲活、讲懂、讲深。“讲活”，就是让学生看到活生生的'数学知识的来龙去脉，形成过程，而不是死的数学知识；“讲懂”就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”是指学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到积极的作用。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

摘要：《全日制义务教育数学课程标准》把“双基”改为“四基”，即把原来的“基础知识”与“基本技能”修改为“基础知识”、“基本技能”、“基本思想”和“基本活动经验”。数学的精髓在于数学基本思想，它并没有像数学知识那样被清清楚楚地显现在课本里，而是隐含在教材中，需要教师去挖掘、去提炼，并贯穿到教学过程中。小学数学中蕴含着哪些最基本的数学思想方法呢？笔者从长期的教学实践中总结出有如下方面最基本的思想方法：观察比较思想方法、分类的思想方法、抽象和概括思想方法、数形结合思想方法、化归思想方法等。

关键词：小学数学；基本；思想方法

《全日制义务教育数学课程标准（》（以下简称《标准》）总目标明确要求：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。《标准》把“双基”改为“四基”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。以往，我们通常把概念、性质、法则、公式、数量关系以及解题方法等作为数学的组成部分。当然，没有这些组成部分，数学就不存在了。但是，只有这些组成部分，也不是本质意义上的数学，数学至少还包含由这些内容所反映出来的思想方法。也可以说数学的精髓在于其基本思想，在教学活动中“基本思想”应是主线，但是数学思想不像数学知识那样被清清楚楚地显现在课本里，而是隐含在教材中，需要教师去挖掘、去提炼，并贯穿到教学过程中。

所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍规律，直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，也是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接而具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。

小学数学中蕴含着哪些基本的数学思想方法呢？

一、观察和比较思想方法

在逻辑学上，观察和比较是重要的思维方法，现代数学思想方法把观察法和比较法看作是最基本的数学思想方法。

观察是思维的窗口，是认识的开始，是解决问题的基础，可以说科学上的重大发现多起源于观察。没有牛顿观察到苹果从树上掉下来，就没有万有引力定律的产生，没有爱迪生一生的观察与探索，就没有“世界发明大王”的诞生。观察对数学学习也是十分重要的，数与代数，统计与概率，空间与图形，实践与综合应用，每个领域的学习都离不开观察。良好的观察力是学好数学的基本条件，也是激发学生的数学探索精神、引发数学发现的源泉。

例如，人教版小学数学一到六年级都有观察物的内容，课程的基本要求就是通过学生观察物体，概括物象培养学生的空间观念，可见，观察法这一思想方法对数学学习是多么重要。

比较是通过观察，分析对比研究对象的共同点和差异点。它是认识事物的最基本的思想方法之一。爱迪生说：我平生从来没有做出过一次偶然的发明，我的一切发明都是经过深思熟虑和无数次的尝试比较的结果。

例如，人教版小学数学第一册《比一比》就是让学生开展简单的比较活动，经历并体验比较的过程，建立多少、大小、长短等数学概念。

二、分类思想方法

数学中的分类是按照数学对象的异同点，把研究对象按某种“标准”分成几类的一种思想方法。按照某一标准，同类者具有相同点；不同类者有相异点。分类和比较是唇齿相依的的，分类和比较同时存在相互促进。

例如，人教版小学数学一年上册第五单元《分类》教学要求是：通过分形体异同的物体、颜色异同的物体、长短异同的物体、用途异同的物体等活动，初步体验分类思想，探索分类的方法，为以后学习数学打基础。再如：能被三角形的分类等等都是建构在分类的数学思想基础上进行学习的。

三、类比思想方法

在数学教学过程中，根据两种事物的相似或相同的形式或规律，通过推理运用到另一类事物中去，如果我们把这些类似进行比较，加以联想的话可能出现许多意想不到的结果和方法。这种把类似进行比较、联想，由一个数学对象的已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质的方法就是类比法，也叫“比较类推法”。往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。

例如，找规律：由图形规律类比到数字规律；又如，在学习（a+b）c=ac+bc类比到（a-b）c=ac-bc；再如将小数乘法的意义类比到分数乘法的意义等等，在数学知识的推导中类比法是十分重要的学习方法，它也是人脑认识世界时可以像模块一样复制的直接根据。

四、化归方法

所谓“化归”，可以理解为转化和归类的意思。化归方法是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种手段和方法。简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。

例如，假期中，班长、学习委员和劳动委员都到学校参加义务劳动。班长每归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这正是化归思想的实际运用。

五、数形结合思想方法

提到数形结合让人很快会想到几何问题的解决，其实数形结合就是通过图形可以很快的抽取出数或数量以及数量关系。从解决问题的策略上来说就是通过直观的图形表示隐含的问题。

解决应用题时多数用画线段图的方式辅助分析。

例如，AB两城间有一条公路长B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？

六、抽象和概括思想方法

抽象和概括是两种非常重要的数学方法，数学概念、数学命题、数学理论的形成都离不开抽象和概括。抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的属性抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的思维过程。这里的关键词有两个，抽取和舍弃，抽取的是事物的本质特征，是我们要给予单独考察的。而舍弃的是事物的非本质特征。

概括就是把个别事物的'某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属性的思维过程。概括包含两方面，一是推广，把个别事物的某些属性推广到同类事物中去，二是总结，把同类事物的共同属性总结出来。

抽象和概括是两种不同的数学方法，抽象侧重于分析和提炼。而概括侧重于归纳和总结。但二者又有着密切的关系。抽象是概括的基础，概括是抽象的综合。

如：在学习长方形和正方形面积一课，先让学生通过透格子的方法，先测量每个长方形和正方形的表面布满了几行几列的一平方厘米的格子，再用乘法表示出行数×列数=面积，通过多次试验，然后再观察每个长方形或正方形的面积与蒙上去的格子纸行列之间的关系，进而总结出：长方形的面积=长×宽，正方形面积=边长×边长。这一例子是充分的利用了抽象概括的数学思想。

七、归纳猜想思想方法

人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。马克·吐温说过：想出新办法的人在他的办法没有成功以前，人家总说他是异想天开。但这种异想天开正是猜想，它是启动所有伟大创举开端的梦。歌德巴赫猜想由1742年他的一串等式6=2+2+2，9=3+3+3，12=2+5+5，7=2+2+3，10=2+3+5，13=3+5+5，8=2+3+3，xx=3+3+5，14=2+5+7，…开始的，他按耐不住兴奋，写信告诉欧拉说，他想冒险发表下列猜想：“大于5的任何自然数是3个素数之和。” 这一猜想至今仍无人能够证明，我国数学家陈景润是目前取得成果最好的。

八、数学模型思想方法

模型思想是此次《标准》修订新增的核心概念之一。所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象、概括地表征所研究对象（中小学主要指现实问题）的主要特征、关系所形成的的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，为表征特定的现实问题，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式、及各种图表、图形等都是数学模型。如长方体体积公式的推导，利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式，建立模型v=abc，这是一个典型的模型化过程。

分析；此题是求水的容积，有一个在建模过程中需要假设，就是矿泉水瓶援助部分并不是一个圆柱的形状，这样才便于建立模型，由于不知道圆柱的底面积，所以无法用容积公式直接求解。这就需要换一个思路来想，根据容积公式v=sh.可知如果底面积一定，容积与圆柱的高成正比，这样就把求容积问题转化为比例问题。由于矿泉水瓶最上面部分形状不规则，倒立过来以后喝的水就相当于圆柱形瓶子高度的一半是= 8：14，V = 12

数学的思想方法还有很多，如：对应思想方法、假设思想方法、符号化思想方法、集合思想方法、统计思想方法等等，都是我们在教学实践中需要加以重视的，这里就不再一一赘述。

小学数学教学的根本任务是提高学生的综合素质，在小学数学教学中有意识地渗透一些基本的数学思想方法，有利于培养和发展学生的认知结构，有利于培养和开发学生的潜能，有利于培养学生的审美情趣，使学生会“数学地”思考和解决问题，把知识学习与能力养成、智力发展有机地统一起来。教学中，笔者建议教师要根据学生的认知规律和年龄特征，有意识地挖掘蕴含在教材里的隐性资源，真正把数学思想方法的渗透落到实处，使学生的数学思维能力得到有效的发展，数学素养得到全面的提高，为培养新世纪的新型人才奠定坚实的基础。

参考文献

〔1〕全日制义务教育数学课程标准〔M〕.北京：人民教育出版社，20xx.〔责任编辑：侯庆海〕

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

一、更新观念，提高认识

数学知识本身是非常重要的，但是对学生后续的学习、生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。小学数学教学的根本任务是全面提高学生的素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法就是增强学生的数学观念，形成良好思维素质的关键。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生把握数学学科的基本结构，也将影响其能力的发展和数学素养的提高。

数学概念、性质、法则、公式等知识都明显地写在教材中，是“有形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是“无形”的，并且分散于各册教材的各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大。有的教师常常因教学时间紧，将它作为“软任务”挤掉，对学生的要求则是能领会多少算多少。因此，教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学思想方法纳入教学目标；其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法教学的各种因素，考虑如何结合具体内容进行数学思想方法的渗透，渗透到什么程度；最后，教师应对小学数学中思想方法的教学有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学目标。

二、寻找载体，重视过程

数学思想方法的渗透是以数学知识为载体，在学生的学习过程中潜移默化地完成的。离开基础知识的教学，数学思想方法的渗透就会变成无源之水。纵观苏教版课程标准数学实验教材，能够渗透数学思想方法的因素是非常广泛的。以函数思想为例，教材从一年级（上册）开始，就通过求未知加数、在方框里填数等形式，将函数思想渗透在例题与习题之中；在统计图表的学习中，用图表将函数思想的核心即对应关系直观化和具体化；在正反比例的学习中，学生将进一步学习用解析式和简单的图像来表示变量之间的函数关系，等等。

数学思想方法的获得依赖于对数学知识学习过程的分析、提炼和概括。重视数学思想方法的教学，必须强化学生的学习过程。只有重视概念的形成过程、法则的提炼过程、定律的归纳过程、性质的推导过程，以及解题思路的探索过程、解题方法与解题策略的总结过程，才能使学生体会到数学思想方法的价值和力量。

苏教版课程标准数学实验教材尝试把重要的数学思想方法以学生可以理解的简单形式，生动有趣地呈现出来。教师要认真领会教材意图，着力引导学生经历数学知识的发现与动态生成的过程，让学生逐步领会蕴含其中的数学思想方法。教师应采用恰当的方式，及时把隐藏在具体知识背后的思想方法揭示出来，让学生理解和接受。例如“角的认识”，可按以下程序进行教学：（在表象的基础上，指出角的顶点和边，使学生对角形成初步认识；（使角的概念符号化。显然，这一概念的获得过程，既符合“感知—表象—概念”的认知规律，又能让学生从中体会到怎样实现由实物到图形的抽象，怎样对有联系的材料进行比较，怎样对数学概念进行形式化。

三、掌握方法，把握时机

为了更好地在教学中渗透数学思想方法，教师不仅要对教材认真研究，潜心挖掘，而且还要思考渗透的手段和方法。这些手段和方法必须适合儿童的认知特点，比如直观法、问题法、剖析法等。直观法就是以图表的形式将数学思想直观化、形象化。直观法的特点是能够将高度抽象的数学思想变成学生容易感知的具体材料，给学生留下鲜明的印象。问题法是指学生在教师的启发下，在探究知识的过程中，通过回顾、思考、总结，逐步领悟数学问题的规律，加深对解题方法的认识。比如，学生通过教师的引导，在学习加法运算律、乘法运算律和商不变的性质等内容的过程中逐步感受不完全归纳法。剖析法是解剖典型的范例，从方法论的角度用儿童能够理解的数学语言去描述数学现象，解释数学规律。

关于数学思想方法的`教学，教师还要注意把握时机，适时渗透，这样才能不加重学生的学习负担。就小学数学来说，在形成概念、导出结论、寻找方法、揭示规律的过程中，随时都可捕捉到渗透数学思想方法的有效时机。例如，在概念教学中，概念的引入可以渗透比较的方法，概念的形成可以渗透抽象分析的方法，概念的贯通可以渗透分类的方法。在法则的归纳、公式的推导、结论的发现过程中，可以渗透分析与综合、类比与联想、公理化与符号化等数学思想方法。在解决实际问题的教学中，通过揭示已知条件与所求问题的联系，可以渗透数学解题中常用的化归思想、数学模型思想、数形结合思想等。

四、勤于练习，善于提炼

在数学教学中，解题是最基本的活动形式。解决问题的过程，也是数学思想方法的运用过程。任何一个问题，从提出直到解决，需要某些具体的数学知识，但更多的是依靠一定的数学思想方法。

数学思想方法的掌握同样需要经历一个逐步深入的过程。只有当学生将某一思想方法应用于新的情境并顺利解决问题时，才能肯定学生对这一数学方法有了深刻的认识。因此，教师对习题的设计也应该从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，在明确解题步骤的基础上，深化对解题方法的认识。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

学习物理的基本方法是观察法和实验法。熟悉物理学中的各种仪器是进行观察实验的基础。能正确使用各种仪器，就能很好地学习物理。

1、总纲：根据需要选器材，范围零刻最小值，使用规则认真记，记录准确加估读。

2、刻度尺：水平放置零对齐，刻线紧贴视线垂，特殊方法四小类，积小成多曲线替。

3、弹簧称：竖直静止匀速读，力的平衡替换的，调零观察最小值，使用不能超范围。

4、温度计：热涨冷缩是原理，接触范围不脱体，体温特殊可脱体，使用之前要先甩。

5、天平：水平放置游码零，刻盘指针对中块，左放物体右法码，游码始终加右盘。

6、平面镜：物像相等镜对称，物动像动含2倍，钟面问题十二减，全像镜长物一半。

7、凸透镜：二倍焦距见大小，一倍焦距见虚正，实像物近像变大，像大必定像距大。实像倒立虚像正，物距像距反向变。

8、杠杆：匀速转动或静止，力和力臂积相等，支点支在支架上，调节螺母水平衡。用力最小力臂大，支点力点连线垂。

9、滑轮：轮上之力必相等，轴上之力轮2倍，省力必定费距离，轮上移距轴2倍。

10、定滑轮：固定不随物移动，支点轴上在园心，力臂相等为半径，省力一半不变向。

11、动滑轮：动滑支点在轮上，竖直用力省力半，效率计算要计重，不变方向费距离。

12、滑轮组：n个定动一根绳，定出2n变力方，如要2n多一股，动出多省方不变。

13、伏特表：内阻很大电流忽，并联要测的两端，若是串接在电路，V表有数A无数。

14、滑动变阻器：改变电路的电阻，有效部位分清楚，无效不通或短路，滑片接伏三类型。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

今年寒假，本想在家好好地读一读书，丰富一下自己专业知识，特别是理论知识，但是受疫情的影响，心一直静不下来，专业性太强的书籍太让人烧脑了，但是一翻到王永春老师的《小学数学与数学思想方法》一书时，特别引人入胜。

全书分为上篇和下篇两部分，上篇阐述了与小学数学有关的数学思想方法，并结合案例谈思想方法的教学。下篇介绍人教版各册教材中体现的数学思想方法。在上篇中，通过王老师提供的一些案例，更加有利于读者（老师）了解和掌握思想方法；在下篇中的教材案例解读分册编写更有利于教师使用。

通过阅读我了解到我们平时所说的“数学思想”“数学方法”“数学思想方法”不是等同的概念。数学思想是对数学知识的本质认识、理性认识。数学方法一般是指用数学解决问题时的方式和手段。而数学思想方法是对数学知识的进一步提炼概括。

数学思想较高层次的基本思想有三个：抽象思想、推理思想和模型思想。与抽象有关的数学思想主要有：抽象思想、符号化思想、分类思想、集合思想、变中有不变思想、有限与无限思想；与推理有关的数学思想有：归纳推理、类比推理、演绎推理、转化思想、数形结合思想、几何变换思想、极限思想、代换思想；与模型有关的数学思想有：模型思想、方程、函数思想、优化思想、统计思想、随机思想；另外还介绍了其他数学思想方法有：数学美思想、分析法和综合法、反证法、假设法、穷举法、数学思想方法的综合应用等。

数学思想是数学方法的进一步提炼和概括，它的抽象概括程度要高一些，而数学方法的操作性更强一些。人们实现数学思想要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法又要以一定的数学思想为依据。可以说虽然它们有区别但是又有密切联系。

以下以《三角形内角和》为案例，谈谈我读完这本书的收获：推理是由一个或几个已知判断推出新判断的理性思维形式。推理是数学的基本思维模式，一般包括合情推理与演绎推理。合情推理是一种创造性思维过程，是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断结果，其实质是“发现－猜想”。而演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算，演绎推理是从一般到特殊的推理，其本质是证明和计算。如：多边形内角和就是通过“先归纳后演绎“的推理过程。教学中先使用不完全归纳法推导出多边形内角和的计算方法，这是合情推理，接着通过将多边形分割成三角形的过程进行演绎推理，并进一步要求学生推算十边形的内角和，以及内角和是1080度的图形是几边形，引导学生将计算多边形内角和的一般方法运用到特殊情境。所以在小学生学习新知时，大多先借助合情推理在不完全归纳中理解一般原理，然后在练习和实践中演绎。在教学中要针对例题的特点引导学生经历“先归纳后演绎”的过程，从而培养推理能力。在探究规律的过程中，合情推理与演绎推理相辅相成，缺一不可。

总之在以后教学中既要教数学思想，又要设法去提高学生的思维能力和解决问题的能力，是我努力的方向。而本书是一个很好的参考书。它为我们做的分类，总结，以及列举的应用实例是一个全面而又具体的指导。仔细研读，慢慢尝试，一定有意想不到的收获。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

会议资料：聚焦数学核心概念、思想方法的课堂教学设计

人民教育出版社章建跃

一、我们面临的现实

课改迅猛推进，亟待解决的问题多多：新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；等。

二、教学层面的问题

课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。

我国数学教学质量滑坡的现象并没有随课改而得到改观，而是越来越严重了。

例1 “平方根”教学中的不当问题。

带根号的数和分数统称实数。

数轴上任意两点之间都有无数个点。

若a＞|b|，则a＞b。

三、教师层面的问题分析

对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和思想方法的体系结构缺乏必要的了解；

对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；

只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；

对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；

的整数部分和小数部分分别是m，n，求m－n。

22是近似值，无法在数轴上准确表示。

缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及其根源也找不出解决问题的有效方法；

采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。

四、努力的方向──专业化

1．数学学科的专业素养

有较好的数学功底（教好数学的前提是自己先学好数学），对数学内容所反映的思想、精神有深入的体会和理解；懂得哪些数学知识对学生的发展具有根本的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的科学方法和理性思维过程的能力和“技术”；等。

2．教育学科的专业素养

一个人的可持续发展，不仅要有扎实的双基，而且要有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望、热情、能力和坚持性、健康向上的人生观和价值观。教师在这些方面对学生的影响力，就是教师的教育学科专业素养的最重要指标。

3．“两个素养”的结合善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发展均衡。

五、数学课堂教学──教什么

构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养。

例2 代数的核心概念、思想方法。

有系统、有效力地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去解决各种各样的代数问题：

各种式（整式、分式、根式等）的运算──用运算律进行“等价变换”；

方程──未知数、已知数之间的特定代数关系；解方程──由代数方程式确定其中的“未知数”的值；

解方程的基本原理：运算律对任何数都成立（通性），所以对“未知数”也成立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数──化未知为已知。

一元一次方程是基础，其它都设法向它转化。

许多问题是在引进字母表示数时才水到渠成地提出来的──从处理单个的数到处理一类问题。

从代数式（符号代表数）、方程（符号代表未知数）到函数（符号代表变数）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化──从变化过程中考察规律，函数是研究变化规律的。

一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映──不仅明确x，y的意义，而且明确k，b的意义──变化规律由k，b决定。

其他函数也类似。

六、基于概念的核心、思想方法的教学设计框架

1．教学设计的基本线索

概念及其解析（概念的核心）；目标和目标解析；教学问题诊断（达成目标已有条件和需要的新条件的分析）；教学过程设计；目标检测的设计。

2．概念和概念解析

概念：内涵和外延的准确表达；

概念解析：重点是在揭示内涵的基础上说明概念的核心之所在；对概念在中学数学中的地位的分析，对内容所反映的思想方法的明确。在此基础上确定教学重点。

例3 “三线八角”概念的核心。

定义：“两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角。

对顶角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于一对角的位置关系。

关键：根据结构特征进行分类。

例4 一元二次方程的核心。

知识：概念（未知数、系数）；解法和公式──通法；判别式──解的情况（通性）；根与系数的关系──通性。

思想方法：等价转化（配方法）；化归思想：二次化一次（因式分解、开方等运算）；对方程的根、系数之间关系进行研究的思想──方法论层次。

3．目标和目标解析

目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。

目标：用了解、理解、掌握等及相应的行为动词经历、体验、探究等表述目标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。

目标解析：解析了解、理解、掌握、经历、体验、探究等的含义。特别注意对概念所反映的数学思想方法的解析。

例5 “三线八角”的教学目标。

目标：识别同位角、内错角、同旁内角（课标）。

目标解析：

正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，确定角的关系（同位角、内错角、同旁内角）。

以“结构特征”为依据，对角进行分类，确定角的特定关系的思想方法。

例6 一元二次方程的解法。

目标：掌握一元二次方程的解法。

解析：

（1）能用具体的方法，如开方法、因式分解法、配方法、公式法等解方程；

（2）能用等价转化（如x=a、（x－x1）（x－x2）=0等）、化归（通过代数运算转化方程，化未知为已知）等探究一元二次方程的解。

例7 一元二次方程根的判别式。

目标：掌握一元二次方程根的判别式。

2解析：──对“掌握”的内涵作具体界定。

（1）在用配方法推导求根公式的过程中，理解判别式的结构和作用；

（2）能用判别式判断数字系数的一元二次方程根的情况；

（3）能用判别式判断字母系数的一元二次方程根的情况；

（4）能应用判别式解决其他情境中的问题。

例8 根与系数的关系。

目标：掌握一元二次方程根与系数的关系。

解析：

（1）提出问题的方法──根的个数、符号、根与根之间的关系、根和系数的关系（根由系数唯一确定、具体关系的探究）、由根作新的方程（解方程的反问题）、根──多项式的因子„„；

（2）通过运算所发现的规律──代数的基本方法；等等。

4．教学问题诊断分析

教师根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行的预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。

例9 “三线八角”中的难点。

学生初次接触平面几何关于位置关系、大小度量的讨论，在思想方法上存在困难外，对于认识几何问题的一般程序也存在困难。复杂的图形会使学生感到无从下手。

教学难点：对图形结构特点的理解并正确地对角分类；在具体（变式）图形中正确找出有关的角。

∠B和∠BCE可以看成是直线，被直线所截得的角；∠B和∠BCD可以看成是直线，被直线所截得的角。

例10 一元二次方程中的难点。

真正的难点还是在思想方法上：等价转化（配方法）；化归思想：二次化一次（因式分解、开方等运算）；对方程的根、系数之间关系进行研究的思想──如何提出研究的问题；分类讨论思想。

具体操作上：由平方根概念所附带产生的难点。

5．教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析应当采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学规律。当前，可以适当地侧重于信息技术的使用，以构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境。

6．教学过程设计

强调教学过程的内在逻辑线索；

给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析；

以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等；

根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计，等。

例11 “三线八角”的教学过程。

问题1（1）请回顾一下角的概念。（2）对顶角、邻补角是怎样形成的？我们是怎样研究它们的性质的？

设计意图：强调从结构特征、讨论问题的思想方法等角度，对已有知识进行复习回顾，为新知识的学习提供借鉴。

先行组织者：两条直线相交形成四个角，它们的关系（性质）已经清楚（特例是垂直）。接下来可以研究一条直线与两条直线分别相交，可以得到哪些角，它们又有什么关系（性质）。

意图：提出问题的方法、研究思路的引导。

问题2：画出一条直线与两条直线分别相交的图形。共得到几个角？你知道哪些角的关系？

设计意图：培养学生画图的习惯；分析出需要研究的新问题（思维的逻辑性）。

问题3：我们没有研究过的是哪些角的关系？如何把这些角分类？

设计意图：引导学生学习根据一定标准分类的研究方法。

问题4：如图，直线AB，CD被直线EF所截。∠1与没有公共定点的∠5，∠6，∠7，∠8的关系可以怎样描述？可分为几类？

设计意图：让学生自己描述这些角的结构特征，并分类。

说明：本问题是本课的关键，可多给时间，教师可在确定分类标准上给予引导。

问题5：图中，（1）与∠

1、∠5具有相同位置关系的角还有哪几对？（2）还有哪几对角的位置关系是问题4中没有包括的？

设计意图：从图中识别同位角，及时巩固概念；引导学生观察图形，从分类角度认识内错角、同旁内角概念。

可以安排让学生找出所有内错角、同旁内角的活动。

教科书只叙述了事实，给了名字。数学思想方法没有明确──要学生自己悟。

例题：

主要是通过图形变式，让学生在逐渐复杂的图形中识别有关角。要帮助学生总结操作要点：两个角由哪条直线截另两条直线形成的──关键是确定“所在公共直线”。

要注意使用反例。

课堂小结：从如下几个方面进行总结。

（1）问题的提出──自然、水到渠成；

（2）研究的思想方法──位置关系的分类，提醒分类标准──角与三条直线的相对位置；

（3）归纳概括概念的内涵，注意使用“等值语言”，如“同位”即“同一个方位”等；

（4）用概念进行判断的步骤、注意事项等。

7．目标检测设计

习题、练习方式的检测。要明确每一个（组）习题或练习的设计目的，加强检测的针对性、有效性。

注意防止一步到位，过早给综合题、难题有害无益；基础不够的题目更是贻害无穷──题目出不好是老师专业素养低的表现之一。

例12 分式概念的检测题比较。

（1）什么时候有意义？

（2）什么时候有意义？

（3）什么时候有意义？什么时候为0？

（4）

结束语

什么时候有意义？什么时候为0？

围绕数学核心概念、思想方法进行教学；

在挖掘知识所蕴含的价值观资源上狠下功夫；

使学生打下扎实双基的过程中，形成积极的生活态度，主动发展的需求，终身学习的愿望、热情、能力和坚持性，健康向上的人生观和价值观。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

读"小学数学与数学思想方法"有感

黄石小数

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数学思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通过短期的训练便能掌握，而数学思想方法需要通过在教学中长期地渗透和影响才能够形成。古语云"泰山不让土壤，故能成其大；河海不择细流，故能就其深。"教师应在每堂课的教学中适时、适当地体现思想方法的教学目标，使学生在潜移默化中日积月累，通过提高数学素养达到学好数学的目的。

内容简介

本书作者王永春，作为人民教育出版社小学数学编辑室主任，长期从事小学数学教材的编写工作，致力于课程、教材的研究，对小学业数学思想方法有深入的思考和探索。基于对提高教育质量、落实教育目标的强烈责任感，作者撰写了系列文章，就有关数学思想方法在小学教学中的应用作了专门的论述。在此基础上，形成了本书。

全书分上下篇，上篇是对数学思想方法的系统阐述，下篇是小学数学教材中数学思想方法案例解读。

在上篇的案例选取中，基本出发点是尽量少出教材及练习册中常用的例子，就是想给读者多提供一些案例，以拓宽知识面、更加有利于了解和掌握思想方法、有利于中小学的衔接。有的案例是在小学知识基础上的拓展和提高，有的是中学知识的简化，可能在理解时会有一点难度。下篇的教材案例解读，没有按照思想方法分类，而是分册编写的，主要是为了方便教师查询。

对学生来说，数学思想方法不同于一般的概念和技能，概念与技能通常可以通过短期训练便能掌握，而数学思想方法则需要通过教师长期的渗透和影响才能够形成。教师应在每堂课的教学中适时、适当地体现思想方法的教学目标，使学生在潜移默化中日积月累，通过提高数学素养达到学好数学的目的。

希望数学思想方法的教学能够像春雨一样，滋润着学生的心田。

作者简介

王永春，内蒙古莫旗人。1967年9月出生。华东师范大学数学系毕业，北京师范大学教育学硕士。人民教育出版社小学数学编辑室主任、编审。从1991年至今，一直从事小学数学课程教材的研究和编写工作，参与策划、编写或主编（副主编）多套小学数学教科书、教师教学用书、教学案例等图书。现任《义务教育教科书？数学》（人教版）副主编。参与多项课题研究，主持了国家社会科学基金"十一五"规划课题《新课改后各类教材特点的比较研究》小学数学子课题。在《课程？教材？教法》、《小学数学教育》等杂志上发表了20多篇论文。

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关于数学建模与数学模型的内涵

目前，数学模型还没有一个统一的、准确的定义，一般学者认为：数学模型是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

由于小学数学没有复杂的数量关系和数学结构，其基本内容是以四则运算为基础的问题解决，从成人角度看数学模型过于简单，但学生自主思考、建构与解决这些问题的过程并不简单，许多问题解决过程都可以是学生再创造的过程。

小学生认识和理解数概念、运算、方程及各类问题解决等内容，都可以看作数学建模，即小学数学中的每个概念、每类运算都可以构成数学模型，可以从数学建模的角度学习这些内容。例如，"小强的妈妈要将2.5千克香油分装在一些玻璃瓶里，每个玻璃瓶最多可盛0.4千克香油，需要准备几个玻璃瓶？""把2升橙汁分装在容量为1/4升的小瓶里，可以装几瓶？"等等，尽管数据不同，所描述的事情不同，但都是除法的"包含除"模型：总量÷每份数=份数。又如，植树问题（在长120米的道路一侧植树，每5米植一棵，需要植多少棵树）和锯木头问题（一根长6米的木头，要锯为5段，每锯一段需要5分钟，锯完这根木头需要多长时间），问题情境不同，但都是"植树模型".鸡兔同笼问题（鸡和兔关在同一笼子里，从上面数有8个头，从下面数有26只脚，问鸡和兔各有几只）和租船问题（全班一共有38人，共租了8条船，小船乘4人，大船乘6人，每条船都坐满，大船、小船各租几条），等等，这些问题的情境不同，数据可能也不同，但都包含了"部分+部分=总量""每份数X份数=总数"这两个结构，即加法模型和乘法模型。

依据前面的界定，我们认为在小学阶段数学模型有三种存在形态：一是现实问题，用语言描述（不能称之为模型，但也是一种抽象和概括）；二是直观模型，用直观、形象的符号表述，例如，表征数学问题结构的示意图、线段图等；三是抽象模型，用抽象的数学语言表示数学关系和结构，在小学阶段一个数、字母、算式、方程等都可以看作一个数学抽象模型。

构建数学模型（简称数学建模）即指"从数学的角度，对所需研究的问题作一个模拟，舍去无关因素，保留其数学关系，以形成某种数学结构".在小学阶段，这种数学结构常用前面所说的直观模型和抽象模型表示。小学阶段的数学建模体现为：其一，能够将现实问题（情境）用直观模型表示（有时借助直观图直接求解），再用抽象式子表示；其二，在直观模型和抽象模型基础上求解问题的答案，并对答案进行检验与评价；其三，对每一幅直观图、每一个数、每一个含字母的代数式和方程，能够讲述不同现实情境的故事，进一步感悟结构相同但具体情境或问题不同的事件都能够用相同的直观图或数、含字母的代数式、方程表示，必要时可能需要修改或调整模型，再应用模型解决新问题。

小学生数学建模的过程分析

数学建模是一个复杂并具有挑战性的过程，建模的过程，实际上就是数学化的过程，是学生在数学学习中获得某种带有模型意义的数学结构的过程。一般而言，数学建模大致包括四个步骤：第一，理解问题的背景与结构；第二，对复杂的情境进行分析和简化，收集必要的数据进行归类整理；第三，找到规律并建立模型；第四，解答问题。这一建模过程如何在小学数学中落实呢？下面以经典的植树问题为例加以分析。

植树问题是小学阶段体现数学建模思想的经典内容之一，植树问题是一个简单的"植树模型".从植树问题到建构起"植树模型"需要一个过程，在建构"植树模型"时，应该有如下步骤：

1、通过"模拟"植树，整体理解题意，如"两端都要植"究竟是什么意思。

2、把现实世界中的"树"和"间隔"抽象看成"点"和"段".

3、通过画图的方式建构"点段关系":以"20米小路，每隔5米种一棵树（两端都要种）"为例，基本建构过程如下：

"点段"一一对应：画一个"点",再画一个"段",依此重复下去，直至达到要求的长度（线段长度的累加）。

4、应用"点段关系"解决实际问题：先把"求一共种多少棵树"转化为"求一共有多少条线段",即总长度÷间距=段数。例如，对于本题，可以先根据间距求出"段数",20÷5=4,此时的"4"表示4段，"棵数"等于"点数".再根据实际情况解决问题：若两端都种，则"点数=段数+1";若一端种另一端不种，则"点数=段数";若两端都不种，则"点数=段数-1".

5、运用模型解决其他问题，感悟模型思想。这个模型也适用于设置车站、路灯、台阶等问题，树、路灯、车站、台阶等可抽象看成"点",各种间隔可抽象看成"段","点数"与"段数"之间的数量关系结构都一样。

可以看到，"植树模型"本质上是乘法模型和一一对应的"点段模型"相互结合后产生的新模型。在教学中我们往往会发现，大部分学生遇到这类题目会直接列式，即用"总长度÷间距=段数"解决。找到这个基本模型对学生来说并不难，但由于没有直观图的支撑，很难通过想象发现"段数"与"点数"之间的对应关系，不能意识到求出的实际上不是"点数"而是"段数".即便有部分学生知道公式能够计算出结果，也不明了什么时候该"+1",什么时候该"-1",因而无法回到实际情境中真正解决问题，遇到其他现实问题更加无法找到对应关系。

出现上述情况，一方面是由于部分学生在课外已经知道或背诵了抽象数量关系（即公式），另一方面是由于小学生画图意识和能力不足，不愿意或不会通过画图表征问题情境。教师在课堂上需要正确面对学生已有的基础，根据学生的不同情况，对于不知道公式的学生，可以从现实情境到直观模型再到抽象模型，对于已经知道公式和答案的学生，可以从现实情境到抽象模型再回归直观模型进行解释，重要的是建立这三者之间的关系，借助直观模型真正理解抽象模型，综合利用乘法模型和"点段模型"解决实际问题。

对于路灯问题、锯木头问题、楼层问题等相关问题，一旦学生通过画图找到了"点"和"段"之间的对应关系，就会发现：抛开具体情境，这些问题的本质和结构是相同的，这样才真正有了模型的影子。

小学生数学建模的层次水平与教学渗透

在小学实践中，我们提出，小学阶段数学建模有以下几个层次、水平（如表1）

表1 小学生数学建模的层次、水平

水平

学生表现

层次

不理解题意，不能用任何方式表征题意或表征错误

理解题意，能用直观、形象的方式（如画图、列表等）正确表征题意，但不能发现规律

层次一：从现实问题到直观模型、抽象算式

理解题意，能用直观、形象的方式（如画图、列表等）正确表征题意，发现规律并转化为数量关系或符号表达式

层次一：从现实问题到直观模型、抽象算式

在水平2基础上，利用直观模型、数量关系式或符号表达式求得正确答案，检验与评价答案

层次二：针对直观模型、抽象算式求得结果并检验

列举其他不同情境的问题（故事）并能运用相同数量关系解决更多的现实问题

层次三：运用该模型讲述不同故事并解决其他问题

除植树问题、鸡兔同笼问题等经典内容以外，小学数学中的每个概念、每类运算都可以构成数学模型。在小学阶段，植树问题、鸡兔同笼问题并不要求学生的建模水平达到最高级的层次三，但对于数学基本概念、运算意义等则要求达到层次三。在概念或运算教学和问题解决教学中，如何使学生向更高层次提升？怎样在小学数学教学中有效渗透建模思想？下面以鸡兔同笼问题为例简要分析。

鸡兔同笼问题的基础模型是乘法模型和加法模型，是2个乘法模型和2个加法模型的综合应用，具体表述如下：

每只鸡的脚数×鸡的只数=鸡脚数

每只兔的脚数×兔的只数=兔脚数

兔头+鸡头=动物数之和

兔脚+鸡脚=动物脚数之和

但其根本是乘法模型，即将每份数不相同的量都转化为每份数相同的量，也就是问题解决中常用的假设法（都假设为鸡或都假设为兔，这样每份脚数都相同）：总只数×假设的脚数=假设的脚总数，再寻找假设的脚总数与实际脚总数差的来源，从而求解出答案。

鸡兔同笼问题出现在小学几个版本的教材中，不同教材安排的年级不同。安排在年级较低的教材更侧重画图法和尝试法，让学生经历画图、列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略；安排在较高年级的教材则更侧重假设方法和方程法。鸡兔同笼问题的算术解法多种多样，例如，金鸡独立法、假设鸡的两只翅膀也变成两只脚、假设鸡全都飞起来（或坐地上）、兔全用双脚站立等。尽管奇思妙想的解法很多，但其本质归根结底都是假设法，而且都是先转化为乘法模型，再利用加法模型解决问题。一旦掌握了模型的本质，就可以相应地解决类似的许多问题，如储蓄罐里有1角和5角两种不同的硬币（共有多少枚硬币，价值多少元）、买成人票和儿童票两种票价的电影票（共买了几张票，花了多少元）、购买两种价钱不同的玩具（共买几个玩具，花了多少钱）等。

教学鸡兔同笼问题时，部分学生已经从课外渠道对于鸡兔同笼的情境问题形成了思维定式，而且通过记忆或背诵抽象的数量关系，一看到"鸡和兔子关在同一个笼子里"的情境就自动化地列式计算，貌似已经能够用抽象的算式模型解决问题，实际上并不能深刻理解其意义，从而掩盖了学生的真实水平。怎样才能暴露学生的真实水平而不让教师被学生"盲目、套用公式"的假象蒙弊呢？下面是北京第二实验小学索桂超教师设计的教学片段：

师：同学们，喜欢玩魔术吗？

生：（齐）喜欢！

师：索老师也特别喜欢玩魔术，今天我给大家变个魔术。有两种牌，一种牌的点数是4,另一种牌的点数是9,告诉魔术师一共翻了多少张牌，牌面点数总和是多少，魔术师就能知道翻出来几张4点和几张9点的牌。

……

在魔术结束后，教师呈现问题："有5点和2点的牌，一共抽了12张牌，牌面点数总和为45.5点和2点的牌各有几张？"可通过画图、列表、假设等各种方法解决问题。学生的各种方法如下（具体方法的描述略）：

方法一：凭借数感尝试，然后调整；

方法二：列表尝试，假设全是5点或2点的牌；

方法三：先计算平均数，再做调整；

方法四：分组计算，再作调整。

在这一引入环节中，教师将"鸡兔同笼"的情境改编为有趣的扑克牌魔术，借用"鸡兔同笼"问题的模型结构，隐藏"鸡兔同笼"的问题类型，激发了学生学习和研究的兴趣。

完成这一任务后，教师抛出"鸡兔同笼"问题，学生自觉进行了迁移：

生：35个头就相当于牌的数量35张，94只脚相当于94点。

生：兔子其实就是4点的牌，鸡是2点的牌，因为兔子有4只脚，鸡有2只脚。

找到了共同的数学结构，学生就能很容易地解决问题。

完成"鸡兔同笼"问题后，为了让学生向更高水平迈进，教师又抛出了新的问题：

师：如果不使用鸡和兔这两种动物，换为其他动物或物体，你还可以创编一个类似问题吗？

生：狗和猫。

生：不可以，因为都是4只脚。

师：改一改。

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生：鹅和狗。

生：摩托车和三轮车。

师：总而言之，我们只要保证什么不一样就可以了？

生：只要保证"脚"数不同就可以了。

师：不瞒大家说，今天索老师和大家玩的数学魔术就是根据"鸡兔同笼"问题改编而来的。其实你也可以像索老师一样创编出一个数学小游戏，如果你感兴趣的话，还可以搜索相关的资料，制作一个小板报，也可以写一篇小论文或小发现。

从上述案例中我们可以看到，尽管建模对小学生来说有一定困难，但如果教师深刻理解模型的内涵、建模的过程及学生学习的路径，就能够很好地让学生经历这个过程，从而在小学阶段有效地渗透模型思想。

小学阶段渗透数学建模思想的价值及建议

如前所述，如果我们将数学建模的内涵适当放宽，降低数学建模的要求，则在小学数学中能够渗透数学建模思想，实现数学建模所承载的教育价值呢？在渗透数学建模思想的教学过程中，需要关注哪些问题？这些都是教师设计有价值学习活动的重要前提和依据。

（一）小学阶段渗透数学建模思想的价值。

1、在建模中提升数学表达。

数学表达是数学学习中的重要内容。"通过数学表达，可以帮助学生不断建构对数学知识的理解，强化对数学技能的掌握，呈现数学观察、实验、猜想、运算、推理、验证等思维过程及数学问题解决的思路和方案，是聚焦学生数学核心素养发展的有效实践范式。"在建模的过程中，学生要学会用数学语言（包括图示、图表、符号等多种方式）简洁表达出数量关系或规律，这种意识和能力为学生后继的数学学习积累了重要经验。

2、在建模中提高抽象思维水平。

模型是从现实情境中高度抽象和概括得到的，小学生在建模中之所以比较困难，很大程度上是因为小学生还处于具体、形象的直观操作阶段，其抽象思维的发展还不够完善，所以应从现实情境中抽象出数学模型，再用来解决更多现实情境问题，例如，"植树模型"不仅仅解决种树问题，"鸡兔同笼模型"不仅仅解决鸡和兔子的问题，建模的过程能够帮助学生超越具体情境，向抽象思维水平迈进。

3、在建模中培养应用意识。

《义务教育课标2011》指出："应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方式予以解决。"通过数学建模，能够促进学生了解数学与其他学科及日常生活的相互联系，深刻领悟数学的应用价值，有助于培养学生的数学应用意识和应用数学的基本能力。

（二）小学阶段渗透数学建模思想的几点建议。

学生学习能力和思维水平的提升需要依赖教师设计的好活动，尤其是在小学阶段，数学建模思想的渗透既要经历过程，又不能过高要求，同时要兼顾不同层次和水平的学生需求，这就更加需要教师的精心设计。

1、关注学生建模中的难点，使其充分暴露，并作为重要教学资源。

学生在建模过程中的每一步都有可能遇到困难，如不会画图或画出的图不能准确表征题意、观察不到规律或不会用抽象的数学语言表达、只能解决例题但不能类推到变式题目等。学生遇到的这些困难都是重要的教学资源，敏锐地发现并充分暴露学生的难点，引导学生在质疑、争论、举例、辩论、追问中逐步澄清，是突破学生学习困难的重要途径和手段。

2、重视直观模型（画图），不要急于套用公式解决问题。

建模过程中，建立直观模型（画图）是重要且关键的一步，教学中要防止急于套公式的做法。波利亚指出："即使你的题目不是一道几何题，你也可以尝试画一张图。给你的非几何题找到一个清晰的几何表示，也许是迈向解答的重要一步。"小学生处于具体、形象的思维阶段，画的图既可以是具体的实物图，也可以是抽象的线段图。随着年龄的增长，建模过程中借助的直观模型也可以慢慢由具体走向抽象。

3、不同学生建模的过程与能力水平不同，要正视差异。

学生在建模过程中表现出的不同能力水平是客观存在的，教学过程中要正视这种差异，等待学生逐步提升，不能急于求成。作为《高中课2017》提出的数学核心素养之一，数学建模对学生中学阶段继续学习的价值是不言而喻的，在小学做些渗透、让学生有些感悟和体验、尝试经历这样的过程、积累有价值的数学经验、使学生能够在中学甚至大学的学习中达到更高的建模水平，这是我们的期望。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f（x）＝0的解就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标。

函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线。这里所说的函数思想具体表现为：运用函数的有关性质，解决函数的某些问题；以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系，通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决；对于一些从形式上看是非函数的问题，经过适当的数学变换或构造，使这一非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决。尤其是一些方程和不等式方面的问题，可通过构造函数很好的处理。

方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。尤其是对于一些从形式上看是非方程的问题，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

作者：孙谦

**：《江苏教育》2012年第13期

【设计理念】

数学学习的过程实际上就是不断解决数学问题的过程。但是学生面对的问题有可能是一个简单的问题，也有可能是一个复杂的问题，表面积的变化就是一个复杂的问题——引起表面积变化的因素很多。遇到复杂的问题应该怎么办？

希望通过本课的学习能给学生带来有益的启发。著名数学家波利亚曾经说过：“如果你不能解决所提出的问题，环视一下四周，找一个适宜的有关问题，辅助问题可能提供方**的帮助。

它可能提示解的方法、解的轮廓，或是提示我们应从哪一个方向着手工作。”在这节实践活动中，学生开场即遇到一个困难的题目，通过自主互助，相互启发，感受到这样的复杂问题可以合理转化为一个简单的问题，由此开始了实践**，之后得到了解决问题的规律或者方法，再运用到解决复杂的问题过程中，最后攻克难关，解决难题。这其中渗透了重要的数学思想方法——转化，也运用到科学研究的方法——不完全归纳，在学习过程中学生接受了一次数学思想的洗礼。

如果说知识的学习是一个载体，那么方法的获得为它提供了无穷的动力，使数学之舟扬帆远航。

围绕着“表面积的变化”这一主题，学生通过三次主题操作（拼正方体——拼长方体——拼火柴盒），找出了影响表面积变化的因素，每次操作活动有明确的指向性，重在解决一个问题。在新课程标准的修订稿中，将“双基”变为了“四基”，增加了基本数学思想和基本活动经验，在本次实践活动中，特别关注到学生的科学研究方法的指导，让学生感受到遇到一个复杂问题，循着

这种解决问题的基本方法，让学生感受到科研方法的魅力，积累解决复杂问题的经验。

【教学目标】

【教学过程与意图】

1、明确概念，制造困难，激发问题意识

1展示一个边长为1的小立方体，然后思考：表面积和体积是多少？

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

用数学模型思想方法解决初中数学

实际应用问题的教学难点要点及对策

关键词:数学模型难点策略

随着新课改的进步落实，素质教育全方位、深层次推进，数学学科要求学生具有较高的数学素质、数学意识和较强的数学应用能力。而数学实际应用问题具有这种考查功能。它不仅具有题材贴近生活，题型功能丰富，涉及知识面广等特点，而且其应用性、创造性及开放性的特征明显。新课标把探索培养学生应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的能力已落实到各种版本的数学实验教材中去了。今天社会对数学教学提出更高要求，不仅要求培养出一批数学家，更要求培养出一大批善于应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的各类人才。初中阶段是探索和培养各类数学人才的黄金时段，而把实际问题转化为数学问题又是绝大多数初中学生的难题，如果在教学中我们有意识地运用数学模型思想帮助学生克服和解决这一难题，那么学生就会摆脱实际应用问题的思想束缚，释放出学习和解决实际应用问题的强大动力，激活创造新思维的火花。

把实际问题转化为一个数学问题，通常称为数学模型。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征，主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。建立数学模型的过程称为数学建模。它主要有以下三个步骤：①实际问题→数学模型；②数学模型→数学的解；③数学的解→实际问题的解。对初中学生来说，最关键最困惑的是第一步。

一、初中学生解决实际应用问题的难点

1.1、缺乏解决实际问题的信心

与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序，过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。

数学建模问题是用数学知识和数学分法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及到各种心理活动，心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识；强烈的好奇心和求知欲；积极稳定的情感；顽强的毅力和独立的个性；强烈而明确的价值观；有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质因而对解决实际问题缺乏应有的信心。

1.2、对实际问题中一些名词术语感到生疏

由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。例如：从2001年2月21日起，中国电信执行新的电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟为0.2元（不足3分钟按3分钟计算），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）。上星期天，一位同学调查了A、B、C、D、E五位同学某天打本地网营业区内电话的电话时间情况，原始数据如表一：

A B C D E

第一次通话时间 3分 3分45秒 3分55秒 3分20秒 6分

第二次通话时间 0分 4分 3分40秒 4分50秒 0分

第三次通话时间 0分 0分 5分 2分 0分

表二：

时间段频数累计频数

0≤t≤3

3≤t≤4

4＜t≤5

5＜t≤6

⑴D同学这天的通话费是什么？⑵设通话时间为T（分），试根据表一填写频数（落在某一时间段上的通话次数）分布表（表二）⑶调整前执行的原电话收费标准是：每3分钟为0.2元（不足3分钟的按3分钟计算）。问：这五位同学这天的实际平均通话费与用原电话收费标准算出的平均通话费相比，是增多了，还是减少了？若增多，多多少？若减少，少多少？

本问题就涉及到学生不太熟悉的名词术语：本地网，通话费、收费标准、通话时间、时间段等，若让学生自己到电信局进行调查将这些名词的意思完全弄明白后，教师再分析讲解，学生就易搞懂了。

1.3对数据处理缺乏适当的方法

许多实际问题中涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知应把哪个数据作为思维起点，从而找不到解决问题的突破口。例如：某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元。

⑴求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？⑵若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。本问题涉及到的量有：每天需用面粉6吨，每吨面粉价格1800，购买面粉运费每次900元，保管每吨面粉每天3元，所求的问题⑴多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？⑵是否考虑9折优惠，条件是每次购进面粉不少于210吨？在这诸多量中，到底从哪个量入手建立怎样的数学模型来解决问题？许多学生是一片茫然。

1.4缺乏将实际问题数学化的经验

数学模式的呈现形式是多种多样的，有的以函数显示，有的以方程显示有的以图形显示，有的以不等式显示，有的以概率显示，当然，还有其他各种形式的模型，具体到一个实际问题来讲，判断这个实际问题与哪类数学知识相关，用什么样的数学方法解决问题，是学生深感困难的一个环节。

例如：某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元，以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的2/3，根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8000万元可以达到小康水平。

⑴若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？⑵试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？

根据调查结果，学生阅读了以上题目，问其想到了什么数学知识，许多学生答不出来。我认为答不出的主要原因就是学生存在把主要语言换成数学语言的转换障碍。数学语言主要指数学文字语言，图形语言和符号语言，是数学区别于其他学科的显著特征，数学语言简练、抽象、严谨。甚至有些晦涩。如“函数，形式简练但十分抽象，许多学生由于过不了数学语言关，符号化意识弱，无法把普通语言转化成数学语言，从而无法将实际问题建立起数学模型。

二、用数学建模解决实际问题的要点及方法

2.1根据经验，解决一个实际问题重点要过好三关：事理关，读懂题意，知道讲的是什么问题；文理关：需要将“问题情景“的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题转化。总之，实际应用问题的难点是：“问题情景的数学化”。因此必须强化训练学生的“阅读理解语言的能力”“分析问题的能力”和“数学抽象化能力”这样才能剥去“实际应用问题”的神秘面纱，还学生数学之真面目。

2.2数学建模遵循如下程式（或流程）

①审题：审题是建模的起步，审题分为读懂和加深理解两个层次，把“问题情景译为数学语言，找出问题的主要关系。②建模：把实际问题主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题；③解模：把数学问题化为常规问题，选择合适的数学方法求解。④检验：对求解的结果进行验证或评估，对错误加以调节，或将结果应用于现实，作出解释或预测。其程式如下：

三、克服数学建模困难的对策

针对学生解决实际应用问题的困难以及解实际应用问题的思路和方法，我认为在平时的应用题教学中应重视对学生进行数学应用意识的培养。如数学语言，数学阅读理解等要有计划，有针对性地训练和培养，具体地讲，应抓好以下几个方面的教学。

3.1着力培养学生的自信心

一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代必备的心理素质。基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此，在平时教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学，创造数学，运用数学，并在此过程中获得足够的自信。例如：我曾经安排学生个人或小组到银行去调查储蓄存款利息计算方法：让学生学会选择储蓄存款的最佳期限：假设向银行存款1000元，试计算5年后可得的利息金额，存款方式为⑴5年定期，整存整取；⑵1年定期，每年到期后本息转存；⑶先存2年定期，到期后本息转存3年定期；⑷半年定期，每次到期后本息转存，以上存款方式哪种所得利息最多？试用数学原理说明所得结论，这次活动学生兴趣很高，在没有任何强制要求下，学生们个个都去银行调查并根据调查数据计算出了存款得息最多的方案。用数学原理解释说明也十分中肯。从这个例子看出，教师在教学中如果注意联系身边的事物，让学生体验数学，并尝到成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣，培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的。

3.2培养学生阅读理解能力，使学生逐步学会数学地阅读材料了解材料

通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生探究能力和自学能力的培养；通过数学阅读，有助于学生更好地掌握数学。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出“数学教学也就是数学语言的教学“，因此，从语言学习的角度讲，数学教学也必须重视数学阅读，作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生科学有效的阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处。从而在兴趣和利益的驱动下自觉主动地进行数学阅读。具体地讲，强化阅读能力的培养，教学时要注意以下几个方面：（1）让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读题目后，进行分析思考，说出题目提供的信息条件，现象过程，解题思路及应采用的规律方法等等。教学中可让学生通览全题说题目的要素，也可让学生剖析字句，说题目的条件；还可让学生形成解题思路后说解题步骤；（2）组织适当的课堂探究交流，课堂探究交流常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论；实践证明，课堂探究交流为师生之间，同学之间的多向交流提供了一个很好的平台；探究交流对学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集材料，统计数据等多种活动并与别人的思想进行比较，以达到更深层次的理解和掌握。因此，课堂探究交流不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣，增进对知识的理解；（3）创设写数学的机会，让学生“写数学”，就是要学生把他们学习的数学心得体会，反思和研究结果，用文字的形式表达出来，并进行交流。例如：可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文等，这样做不仅可以提高学生的数学写作，阅读能力和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学的学习水平与探索研究能力。

3.3构建知识网络，强化从整体的角度选择思维起点的能力，数学实际问题最突出的特点就是数据多，变量符号（字母）多，数量关系隐蔽而且数据具有“生活实际”的本来面目，并非“纯数学化”的数据。学生对数据的感悟能力较差，对已知所求之间的数量关系比较模糊，如果从局部入手，则头绪纷繁，不易突破，但若能从客观上进行整体分析，抓住问题的框架结构与本质关系，常能出奇制胜，找到解决问题的方法。具体的讲可以运用结构数据表格的整合信息，理顺数量间的关系，从而建立相应的数学结构，凸显数学“建模”。例如上面提及的电话支费，通过对题目的整体数量分析，可以整合成直观图（表3），这样，所有数据便一目了然。正

时间段频数累计频数

0＜t≤3 T 2

3＜t≤4 正 5

4＜t≤5 T 2

5＜t≤6 一 1

表3：

这五个同学的实际平均通话费X元，按原电话收费标准算出的平均通话费Y元则X=（2）Y=（）X-Y=?实际上少了0.08元.

3.4加强数学语言能力的培养对学生数学语言能力的培养包括两个方面的内容：一是掌握数学语言，包括：①接受——看（听）得懂，能识别、理解解释弄清数学问题的语言表达，并能转化为具体的数学思想，能用自己的语言复述、表达；②表达——写（讲）得出，能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的语言标准流畅地表达出来，并且在表达中名词述语规范、准确、合乎逻辑。二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间，各种数字语言的互译、转化工作。加强对学生数学语言能力的培养，主要做好一下两方面的工作，首先，要加强语义、句法的教学。斯托利亚尔指出：“这两方面都很重要，如果只限于语义一中，那么数学将不会使用形式的数学工具，进而不会用它们解决问题。如果只限于句法一种，那么学生将不理解数学语言表达的意义，不能把非数学的问题转化为数学问题，他们的知识将是形式主义的、无益的。”在教学中可以利用以下方法加强学生对语义、句法的理解：（1）借助于语文知识中句子的扩写或缩写来帮助理解。如“对顶三角相等”扩写成：“如果两角是对顶角，那么这两个角相等”，再如：“连接两点的线段的长度叫这两点间的距离”，可先诱导学生找出句子的主、谓、宾语，再读缩句，即句子的主干，这样学生就加深了对“距离”的理解，“距离”是“长度”，是“正的数量”而不是“形”——线段（2）借助于“打比方”帮助理解。如数学中的“直线”可比喻为孙悟空的“金箍棒”，既不失科学性，又能使学生印象深刻，理解透彻。（3）运用比较法帮助理解，如学习“二次根式”的加减运算时，与已学过的“整式”的加减运算作比较，得知相同点就是“合并”不同点就是“同类二次根式”与“同类项”（4）多角度理解，如相反数时，从定义角度理解：分别求-3、-5、0的相反数，相反数是10的数是什么？从数轴的角度理解：数轴上什么样的两数互为相反数？从绝对值角度理解：符号、绝对值怎样的两数互为相反数？从运算角度理解：相加得0的两数互为相反数吗？通过这样的多角度直观，强化理解。其次，要加强数学语言的互译的训练。数学概念、定理、公式、法则等往往是通过一种语言表述的。而学生要真正理解和运用它们，则必须要能灵活运用三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）进行表述。例如，平面几何中的定理都是用文字语言表述的，但是证明时的论证需借助符号语言来表达，其间图形语言作为文字语言和符号语言的必要补充，为数学思维提供直观模型。因此，在平面几何的教学中必须注重对三种语言的转化训练，对书上的每一定理都要求能够作出对应图形，并能用符号语言写出对应的几何译式。

3.5优化教学设计，教学策略。

传统教学中，教学过程基本上由教师控制，教学设计只关注对传授——接受过程的优化，而很少关注改变学生学习方式，学生接受的只是一些数学结论，对数学问题是怎样提出的，概念是如何在具体情景中形成的，结论怎样探索和猜测到的，证明的思路和计算的想法是怎样得到的，结论的作用和意义是什么？很少关注。因而无法实现学生的数学学习由被动接受“结果”向主动积极构建“过程”的转化。一碰上实际问题，就茫然不知所措。为改变这一高耗低效的课堂，教学设计应注重创造问题情景，开发教学媒体，提供学习资源，优化学习环境。在指导学生学习策略上：一是变学生“仓库式”学习为“蜂蜜式”学习，二是变学生由知识学习为体验学习、发现学习。因此教学设计不仅要关注“基础知识”传授，更要关注如何向学生提供真实情境，模拟情境向学生展现“春天的原野”，让学生体验尝试，发现探究。让学生博采广撷，自我“酿蜜”；优化教学设计离不开研究学生的数学学习心理，摸清学生的学情，否则，教师无法有针对性地提供给学生解决数学实际问题的思想和方法。

3.6开发教材潜能，创造性地用好教材

教材是教与学的依据，也是教学问题的题源。教材中的例题、习题是经过反复筛选精编而成，看似寻常，实则内涵丰富。有不寻常的价值和应用功能，教师要充分发挥、挖掘教材中例、习题的作用，在教与学中创造性地设置教学情景，并适时地“深挖洞”或“广积粮”形成以问题为中心展开教学，使学生真正理解掌握知识的产生、形成和发展过程。对例题，习题的教学中采取一题多解（多角度、多方位、多层次）的形式，容易的题精讲，旧题新讲，小题大讲（深入挖掘、一题多变、一题多解、一题多用）如果老师教学时在处理上述问题原形时，不引导学生进行横向扩展纵向延伸，学生在面对实际问题时是很难解决的。因此，教师要创造性地使用好教材中的例题、习题，在布置练习时要减少一些“死”的书面作业，增加一些“活”的实践性、开放性、探究性作业。对教材中的概念、公式、法则、定理不仅要求熟记，而且要弄清背景和来源，以及与其他知识的联系，注重教材中概念、公式、法则、定理的提出、知识的形成。发展过程、解题思路的探索过程，解题规律和方法的概括过程，为学生创建了解决实际问题的基石和搭建了登高望远的平台。

综上所述，培养学生解决实际问题的能力，关键是要培养学生建模能力，即把实际问题转化为纯数学问题的能力，而提高这一能力，需要教师平时对学生进行长时间的启发、引导、点拨；和不断地探究、反思、经过思维碰撞、纠错磨练。所谓：谋定而动，马到功成。

参考书目：

《黄冈中学高考名师点击》

陈圣齐

《初中数学活动研究》湖南师大出版社

张德

银川市《试题研究》

2002.2

张洋

《中学数学教学》

2002.8

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

素质教育下的数学教学更注重数学品质的培养和数学能力的提高，这较以题海战为主、靠成绩说话的应试教育上升了一个新的台阶。在这新的台阶上，数学教师面临着一个新的课题———如何“渗透数学思想，掌握数学方法，走出题海误区。”

一、更新教育观念

纵观数学教学的现状，应该看到，应试教育向素质教育转轨的过程中，确实有很多弄潮儿站到了波峰浪尖，但也仍有一些数学课基本上还是在应试教育的惯性下运行，对素质教育只是形式上的“摇旗呐喊”，而行动上却留恋应试教育“按兵不动”，缺乏战略眼光，因而至今仍被困在无边的题海之中。究竟如何走出题海，摆脱那种劳民伤财的大量的机械训练呢？坚持渗透数学思想和方法，更新教育观念是根本。要充分发掘教材中的知识点和典型例题中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维，尽量暴露思维的全过程，展示数学方法的运用，大胆探索，会一题明一类，以少胜多，这才是走出题海误区，真正实现教育转轨的新途径。

二、明确内涵

所谓数学思想就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是数学思想的具体表现形式，是实现数学思想的手段和重要工具。数学思想和数学方法之间历来就没有严格的界限，只是在操作和运用过程中根据其特征和倾向性，分为数学思想和数学方法。一般说来，数学思想带有理论特征，如符号化思想、集合对应思想、转化思想等。而数学方法则具有实践倾向，如消元法、换元法、配方法、待定系数法等。因此数学思想具有抽象性，数学方法具有操作性。数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。不同的数学思想和方法并不是彼此孤立、互不联系的，较低层次的数学思想和方法经过抽象、概括便可以上升为较高层次的数学思想和方法，而较高层次的数学思想和方法则对较低层次的数学思想和方法有着指导意义，其往往是通过较低层次的思想方法来实现自身的运用价值。

三、强化渗透意识

突出数学思想和方法的渗透，强化渗透意识，这既是数学教学改革的需要，也是新时期素质教育对每一位数学教师提出的新要求。素质教育要求：“不仅要使学生掌握一定的知识技能，而且还要达到领悟数学思想，掌握数学方法，提高数学素养的目的。”而数学思想和方法又常常蕴含于教材之中，这就要求教师在吃透教材的基础上去领悟隐含于教材的字里行间的数学思想和方法。一方面要明确数学思想和方法是数学素养的重要组成部分，另一方面又需要有一个全新而强烈地渗透数学思想方法的意识。

四、制定渗透目标

依据现行教材内容和教学大纲的要求，制订不同层次的渗透目标，是保证数学思想和方法渗透的前提。现行教材中数学思想和方法，寓于知识的发生，发展和运用过程之中，而且不是每一种数学思想和方法都能像消元法、换元法、配方法那样，到某一阶段就能掌握运用。有的数学思想方法贯穿初等数学的始终，必须分级分层制定目标。以在方程（组）的教学中渗透化归思想和方法为例，初一年级时，可让学生接受在一定条件下把未知转化为已知，把新知识转化为已掌握的旧知识的思想和方法；到了初二年级，可根据化归思想的导向功能，鼓励学生按一定的模式去探索运用；初三年级，已基本掌握了化归的思想和方法，并有了一定的运用经验，可鼓励学生大胆开拓，创造运用。实际教学中也确实有一些学生能够把多种数学思想和方法综合运用于解决数学问题之中，这正是教育走出题海所迫切需要的，它既是素质教育的要求，也本文的最终目的。

五、遵循渗透原则

渗透是把教材本身的数学思想和方法与数学对象有机地联系起来，在新旧知识的学习运用中渗透，而不是有意去添加思想方法的内容，更不是片面强调数学思想和方法的概念，其目的是让学生在潜移默化中去领悟。渗透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具体、由特殊到一般的渗透原则，使认识过程返朴归真。让学生以探索者的姿态出现，在自觉的状态下，参与知识的形成和规律的揭示过程。那么学生所获取的就不仅仅是知识，更重要的是在思维探索的过程中领悟、运用、内化了数学的思想和方法。

六、探索渗透的途径

数学的思想和方法是数学中最本质、最具有数学价值的东西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的数学思想和方法都呈隐蔽状态，需要教师在数学教学中，乃至数学课外活动中探索选择适当的途径进行渗透。

1.在知识的形成过程中渗透数学的思想和方法

对数学而言，知识的形成过程实际上也是数学思想和方法的发生过程。大纲明确提出：“数学教学，不仅需要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。”这一思维过程就是思想方法。传授学生以数学思想，教给学生以数学方法，既是大纲的要求，也是走出题海的需要。因此必须把握教学过程中进行数学思想和方法渗透的契机。如概念的形成过程，结论的推导过程等，都是向学生渗透数学思想和方法、训练思维、培养能力的极好机会。

2.在问题的解决过程中渗透数学的思想和方法

教学大纲明确指出：“要加强对解题的正确指导，要引导学生从解题的思想和方法上作必要的概括”，这就是新教材的新思想。其实数学问题的解决过程就是用不变的数学思想和方法去解决不断变换的数学命题，这既是渗透的目的，也是实现走出题海的重要环节。渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到会一题而通一类的效果，打破那种一把钥匙开一把锁的呆板模式，摆脱了应试教育下题海战的束缚。

3.在复习小结中渗透数学的思想和方法

小结和复习是数学教学的重要环节，如何提高小结、复习课的效果？要紧扣教材的知识结构，及时渗透相关的数学思想和数学方法。在数学思想的科学指导下，灵活运用数学方法，突破题海战的模式，优化小结、复习课的教学。在章节小结、复习的数学教学中，要注意从纵横两个方面，总结复习数学思想与方法，使师生都能体验到领悟数学思想，运用数学方法，提高训练效果，减轻师生负担，走出题海误区的轻松愉悦之感。

4.在数学讲座等教学活动中渗透渗透数学的思想和方法

数学讲座是一种课外教学活动形式。在素质教育的导向下，数学讲座等教学活动日益活跃，究其原因，是数学讲座不仅为广大中学生所喜爱，而且是数学教师普遍选用的数学活动方式。特别是在数学讲座等活动中适当渗透数学思想和方法，给数学教学带来了生机，使过去那死水般的应试教学一改容颜，焕发了青春，充满了活力。

实践证明：探索数学思想和方法的渗透过程，实际上就是探索走出题海误区，实现教育转轨的过程。透过数学家的思想和心智活动，领略失败到成功的艰辛，探索数学思想和方法发展的必由之路，那么，学生在解决数学问题时就不会照本宣科，而是设法突破定势、强化分析，从而真正走出题海误区，实现素质教育的转轨。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

《依托数学思想方法教学孕育学生的数学情结》可能是您在寻找小学数学教学论文随笔过程中需要的内容，欢迎参考阅读！

依托数学思想方法教学孕育学生的数学情结，加强学生与数学学科间的内在联系，也是优化数学教学的好选择。情结是一个人心理状态中，潜移默化形成的强烈而又无意识的冲动。数学情结可以理解为对数学不自觉的情感。培育学生的情结，是各个学科教学的要务，通过思想方法教学推动学生数学情结养成，是一个切实可行的思路。我们可以选择一些各种数学程度的学生都能接受，又能很好激发学生探索热情的知识。例如，有12个完全相同的小球，将它们放入图6所示的36个方格中，要求无论是横排方格还是纵列方格，只能出现两个小球。

1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36

图6 问：我们应当如何处理这个问题，你的思路是什么样的呢？学生甲：我先在中间位置（15，16，21，22）放入四个小球，然后再补充完成其它行与列的放置问题，很容易就得到答案。学生乙：我先在边缘位置（1，6，31，36）放入四个小球，然后再补充完成其它行与列的放置问题，也可以很容易得到答案。 …… 问：刚才几位同学处理问题时，用到了什么样的数学思想？分析：几位同学都是先假设某些行与列中小球放置的情况，然后由假设出发，得到问题的答案，这种思想方法就是数学中的“猜想”。我们生活中，是不是有许多的问题都是通过猜想而解决的。问：同学们还能不能猜想出其它的解决办法？这时候，学生的积极性被进一步调动起来。又有同学发言，可以先完成对角线（1，8，15，22，29，36）放置，再得到答案等等。随着思想火花不断地迸发，学生们给出了越来越多的设想，而这些设想的对错已不再被课堂关注，学生们只追求在解决问题过程中所表现出的思维上高度的紧张、水平和品质。无论结果是否正确，教师都给出肯定和鼓励的评价，这时的教学不再仅仅为了教学，教与学达到感性和理性的和谐统一，实现了课堂的自由。培养学生的数学情节，仅从正面的价值教育入手是不够的，数学多么多么得神奇，多么多么得重要，多么多么得有价值，这是所有学生都知道的，他们在整个学习生涯中，无数次接受这样的说教，很多人对此已经麻木。甚至于造成一些学生对数学的态度越来越消极，将数学学习看作是一种束缚，寄希望于尽快地摆脱数学学习，逃避数学学习的情况。数学教学，尤其是职业中学的数学教学，必须要着眼于学生，这个着眼不单单是说从教学知识点和教学难易程度出发，也不是从某些数学教学内容的教与不教出发，而是要从学生的思想心理出发，将学生对待数学的态度作为教学的一个突破口，动之以情，进而达到培养学生，提升学生素养的目的。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

一、说教材

本节课选自人教版九年级数学上册第二十一章二次根式第一节的内容。“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章实数(13.1平方根;13.2立方根;13.3实数)的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质、和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也为以后将要学习的“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”等内容打下重要基础。

二、说学情

学生已经学习了平方根(算术平方根)等有关知识，有了一定的知识基础和认识能力。本课时及后面的知识的学习，对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有了更高的要求，如果学生在此不能很好地理解和正确地认知，将对后续的学习产生很大的影响，所以要求学生积极探究与思考，及时加以训练巩固，克服学习困难，真正“学会”。

三、说教学目标

根据大纲的要求和教材结构内容分析，结合九年级学生的实际水平，考虑到学生已有的认知结构心理特征，本节课可确定如下教学目标：

1.知识与技能：掌握二次根式的概念，二次根式的取值范围和被开方数的取值范围

2.过程与方法：根据条件处理问题的能力及分类讨论问题的能力

3.情感态度价值观：严谨的科学精神

四、说教学重点和难点

教学重点：二次根式中被开方数的取值范围

教学难点：二次根式的取值范围

五、说教法

教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到对二次根式进行条件约束等问题，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。

六、说学法

新课程标准指出：学生是学习的主体。要让学生成为真正的主人，需要在数学教学的过程中，让老师引导学生自主思考、合作探究、共同总结，从而体现学生学习的主体地位。本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式，启发式、讲练结合的方法展开教学。先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念;再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简的学习。通过对本节课的学习，使学生们的发散性思维得以启发,学生们的观察、分析、发现问题的能力得以锻炼，学生辩证唯物主义观点得以培养。

❈ 数学与数学思想方法读后感 ❈

1、函数与方程的思想

著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。

函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。

所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。

函数和方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。

高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程的思想的基本运用，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力的关系角度进行综合考查。

在解题时，要学会思考这些问题：(1)是不是需要把字母看作变量?(2)是不是需要把代数式看作函数?如果是函数它具有哪些性质?(3)是不是需要构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题?(4)能否把一个等式转化为一个方程?对这个方程的根有什么要求?……

2、数形结合的思想

数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面。“数”与“形”两者之间并不是孤立的，而是有着密切的联系。数量关系的研究可以转化为图形性质的研究，反之，图形性质的研究可以转化为数量关系的研究，这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想。

数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。华罗庚先生曾作过精辟的论述：“数与开形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离。”

数形结合既是一个重要的数学思想，也是一种常用的解题策略。一方面，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往变得非常直观形象;另一方面，一些图形的属性又可通过数量关系的研究，使得图形的性质更丰富、更精准、更深刻。这种“数”与“形”的相互转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可大大开拓我们的解题思路。可以这样说，数形结合不仅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思维的有力“杠杆”。

由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识。因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。

在高考中，选择题和填空题这两种题型的特点(只需写出结果而无需写出过程)，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识。而在解答题中，考虑到推理论证的严谨性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不是提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合的思想的考查以由“数”到“形”的转化为主。

3、分类与整合的思想

解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。

高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况，对数函数的单调性就分为a>1，0

高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的解析式，包括函数问题，数列问题和解析几何问题等。此外，排列组合的问题，概率统计的问题也考查分类与整合的思想。随着新课程高考在全国的实施，在新增内容中考查分类与整合的思想，窃以为，是今后几年高考命题的重点之一。

4、化归与转化的思想

将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的'数学方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转达化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是骒转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。有人认为“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙，说的也不无道理。

5、特殊与一般的思想

由特殊到一般，由一般到特殊，是人们认识世界的基本方法之一。数学研究也不例外，由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般的思想。

我们对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，证明后，又使用它们来解决相关的数学问题。在数学中经常使用的归纳法，演绎法就是特殊与一般的思想的集中体现。分析历年的高考试题，考查特殊与一般的思想的题比比皆是，有的考查利用一般归纳法进行猜想，有的通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题等。随着新教材的全面推广，高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般的思想必然成为今后命题改革的方向。

6、有限与无限的思想

有限与无限并不是一新东西，虽然我们开始学习的数学都是有限的教学，但其中也包含有无限的成分，只不过没有进行深入的研究。在学习有关数及其运算的过程中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是有限个数的运算，但实际上各数集内元素的个数都是无限的。在解析几何中，还学习过抛物线的渐近线，已经开始有极限的思想体现在其中。数列的极限和函数的极限集中体现了有限与无限的思想。使用极限的思想解决数学问题，比较明显的是立体几何中求球的体积和表面积，采用无限分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，然后再求和求极限，这是典型的有限与无限的思想的应用。

函数是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用。导数是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、最大、最小等实际问题，是研究客观事物变化率和最优化问题的有力工具。

高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限思想。例如，在使用由特殊到一般的归纳思维时，含有有限与无限的思想;在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等。随着对新增内容的考查的逐步深入，必将加强对有限与无限的思想的考查，设计出突出体现出有限与无限的思想的新颖试题。

7、或然与必然的思想

随机现象有两个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结果并不相同，以至于在试验之前不能预料试验的结果;二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。了解一个随机现象就要知道这个随机现象中所有可能出现的结果，知道每个结果出现的概率，知道这两点就说对这个随机现象研究清楚了。概率研究的是随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。

随着新教材的推广，高考中对概率内容的考查已放在了重要的位置。通过对等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验恰相好有k次发生的概率、随机事件的分布列与数学期望等重点内容的考查，考查基本概念和基本方法，考查在解决实际应用问题中或然与必然的辩证关系。

概率问题，无论属于哪一种类型，所研究的都是随机事件中“或然”与“必然”的辩证关系，在“或然”中寻找“必然”的规律。